Tìm tất cả các giá trị của $m$ để đường thẳng $d:y=x+m-1$ cắt đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x+1}{x+1}$ tại hai điểm phân biệt $M,N$ sao cho $MN=2\sqrt{3}.$

Ta có PTHĐGĐ của đường thẳng $\left( d \right)$ và đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x+1}{x+1}$
$\dfrac{2x+1}{x+1}=x+m-1,\left( x\ne -1 \right)$
$\Leftrightarrow 2x+1=\left( x+m-1 \right)\left( x+1 \right)$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+\left( m-2 \right)x+m-2=0\left( 2 \right)$
Phương trình $\dfrac{2x+1}{x+1}=x+m-1$ có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình $\left( 2 \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\ne -1.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta >0 \\
& 1-m+2+m-2\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( m-2 \right)}^{2}}-4\left( m-2 \right)>0 \\
& 1\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow {{m}^{2}}-8m+12>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m<2 \\
& m>6 \\
\end{aligned} \right.$
Gọi $M\left( {{x}_{1}};{{x}_{1}}+m-1 \right),N\left( {{x}_{2}};{{x}_{2}}+m-1 \right)$ là giao điểm của hai đồ thị.
Ta có $MN=2\sqrt{3}\Leftrightarrow M{{N}^{2}}=12\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}=12$
$\Leftrightarrow x_{2}^{2}-x_{1}^{2}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=6\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}-6=0$
$\Leftrightarrow {{\left( m-2 \right)}^{2}}-4\left( m-2 \right)-6=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-8m+6=0$
$\Leftrightarrow {{\left( m-2 \right)}^{2}}-4\left( m-2 \right)-6=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-8m+6=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=4+\sqrt{10} \\
& m=4-\sqrt{10} \\
\end{aligned} \right.$
So với điều kiện có hai nghiệm phân biệt, ta nhận cả hai giá trị $m=4\pm \sqrt{10}.$