Tìm tất cả các giá trị của $m$ để đường thẳng $d:y=x+m-1$ cắt đồ thị hàm số $y={\displaystyle \frac{2x+1}{x+1}}$ tại hai điểm phân biệt $M,N$ sao cho $MN=2\sqrt{3}.$

Ta có PTHĐGĐ của đường thẳng $\left(d\right)$ và đồ thị hàm số $y={\displaystyle \frac{2x+1}{x+1}}$
${\displaystyle \frac{2x+1}{x+1}}=x+m-1,(x\ne -1)$
$\iff 2x+1=(x+m-1)(x+1)$
$\iff x^2+(m-2)x+m-2=0\left(2\right)$
Phương trình ${\displaystyle \frac{2x+1}{x+1}}=x+m-1$ có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình $\left(2\right)$ có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2\ne -1.$
$\iff \{\begin{array}{rl}& \mathrm{\Delta }>0\\ & 1-m+2+m-2\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& {(m-2)}^2-4(m-2)>0\\ & 1\ne 0\end{array}\iff m^2-8m+12>0\iff [\begin{array}{rl}& m<2\\ & m>6\end{array}$
Gọi $M(x_1;x_1+m-1),N(x_2;x_2+m-1)$ là giao điểm của hai đồ thị.
Ta có $MN=2\sqrt{3}\iff M{N}^2=12\iff {(x_2-x_1)}^2+{(x_2-x_1)}^2=12$
$\iff x_2^2-x_1^2-2x_1{x}_2=6\iff {(x_1+x_2)}^2-4x_1{x}_2-6=0$
$\iff {(m-2)}^2-4(m-2)-6=0\iff m^2-8m+6=0$
$\iff {(m-2)}^2-4(m-2)-6=0\iff m^2-8m+6=0$
$\iff [\begin{array}{rl}& m=4+\sqrt{10}\\ & m=4-\sqrt{10}\end{array}$
So với điều kiện có hai nghiệm phân biệt, ta nhận cả hai giá trị $m=4\pm \sqrt{10}.$