Tìm $m$ để phương trình ${{x}^{6}}+6{{x}^{4}}-{{m}^{2}}{{x}^{3}}+\left( 15-3{{m}^{2}} \right){{x}^{2}}-6mx+10=0$ có đúng hai nghiệm phân biệt...

Phương trình đã cho tương đương với
$\left( {{x}^{6}}+6{{x}^{4}}+12{{x}^{2}}+8 \right)-\left( {{m}^{3}}{{x}^{3}}+2{{m}^{2}}{{x}^{2}}+3mx+1 \right)+\left( 3{{x}^{2}}-3mx+3 \right)=0$
$\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}+2 \right)}^{3}}-{{\left( mx+1 \right)}^{3}}+3\left( {{x}^{2}}-mx+1 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}-mx+1 \right)\left[ {{\left( {{x}^{2}}+2 \right)}^{2}}+\left( {{x}^{2}}+2 \right)\left( mx+1 \right)+{{\left( mx+1 \right)}^{2}}+3 \right]=0$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-mx+1=0$ (Vì ${{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}={{\left( a+\dfrac{1}{2}b \right)}^{2}}+\dfrac{3}{4}{{b}^{2}}\ge 0,\forall a,b).$
$\Leftrightarrow x+\dfrac{1}{x}=m$ (Do $x=0$ không thỏa mãn phương trình này).
Xét hàm số $f\left( x \right)=x+\dfrac{1}{x}$ trên đoạn $\left[ \dfrac{1}{2};2 \right].$ Ta có:
$f'\left( x \right)=1-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}$
$f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1\notin \left( \dfrac{1}{2};2 \right) \\
& x=1\in \left( \dfrac{1}{2};2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên trên suy ra để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm thỏa mãn $\left[ \dfrac{1}{2};2 \right]$ thì $2<m\le \dfrac{5}{2}.$
Vậy tất cả các giá trị cần tìm của $m$ là $2<m\le \dfrac{5}{2}.$