Tìm m để hàm số $y=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}-m+1 \right)x+1$ đạt cực đại tại $x=1.$

Phương pháp giải:
Điểm $x={{x}_{0}}$ là điểm cực đại của hàm số $y=f\left( x \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{f}'\left( {{x}_{0}} \right)=0 \\
{f}''\left( {{x}_{0}} \right)<0 \\
\end{array} \right..$
Giải chi tiết:
Xét hàm số: $y=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}-m+1 \right)x+1$ ta có: ${y}'={{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-m+1$ $\Rightarrow {y}''=2x-2m$
Hàm số đã cho đạt cực đại tại $x=1\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{y}'\left( 1 \right)=0 \\
{y}'\left( 1 \right)<0 \\
\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
1-2m+{{m}^{2}}-m+1=0 \\
2-2m<0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{m}^{2}}-3m+2=0 \\
m>1 \\
\end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\left[ \begin{array}{*{35}{l}}
m=1 \\
m=2 \\
\end{array} \right. \\
m>1 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow m=2.$