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Câu hỏi: Tìm $m$ để bất phương trình $2{{x}^{3}}-6x+2m-1\le 0$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left[ -1;1 \right]$.
A. $m\le \dfrac{-3}{2}$.
B. $m\ge \dfrac{-3}{2}$.
C. $m\le \dfrac{5}{2}$.
D. $m\ge \dfrac{5}{2}$.
A. $m\le \dfrac{-3}{2}$.
B. $m\ge \dfrac{-3}{2}$.
C. $m\le \dfrac{5}{2}$.
D. $m\ge \dfrac{5}{2}$.
$2{{x}^{3}}-6x+2m-1\le 0\Leftrightarrow m\le -{{x}^{3}}+3x+\dfrac{1}{2}=g\left( x \right)\left( 1 \right)$
Xét hàm số $g\left( x \right)=-{{x}^{3}}+3x+\dfrac{1}{2}$ trên $\left[ -1;1 \right].$
$g'\left( x \right)=-3{{x}^{2}}+3$
$g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow -3{{x}^{2}}+3=0\Leftrightarrow x=\pm 1.$
$g\left( -1 \right)=\dfrac{-3}{2};g\left( 1 \right)=\dfrac{5}{2}$
$\Rightarrow \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=\dfrac{-3}{2}.$
Do đó: $\left( 1 \right)\Leftrightarrow m\le \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=\dfrac{-3}{2}.$
Xét hàm số $g\left( x \right)=-{{x}^{3}}+3x+\dfrac{1}{2}$ trên $\left[ -1;1 \right].$
$g'\left( x \right)=-3{{x}^{2}}+3$
$g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow -3{{x}^{2}}+3=0\Leftrightarrow x=\pm 1.$
$g\left( -1 \right)=\dfrac{-3}{2};g\left( 1 \right)=\dfrac{5}{2}$
$\Rightarrow \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=\dfrac{-3}{2}.$
Do đó: $\left( 1 \right)\Leftrightarrow m\le \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=\dfrac{-3}{2}.$
Đáp án A.