Tìm giá trị thực của tham số $m$ để đường thẳng $d:y=(3m+1)x+3+m$ vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số...

Phương pháp giải:
- Giải phương trình $y^{\prime }=0$, từ đó xác định 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số $A(x_1;y_1),B(x_2;y_2)$.
- Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số: $AB:{\displaystyle \frac{x-x_1}{x_2-x_1}}={\displaystyle \frac{y-y_1}{y_2-y_1}}$.
- Hai đường thẳng $d:y=ax+b$ và $d^{\prime }:y=a^{\prime }x+b^{\prime }$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi $a.a^{\prime }=-1$.
Giải chi tiết:
Ta có: $y=x^3-3x^2-1\Rightarrow y^{\prime }=3x^2-6x$.
$y^{\prime }=0\iff 3x(x-2)=0\iff [\begin{array}{l}x=0\Rightarrow y=-1\\ x=2\Rightarrow y=1\end{array}$, do đó đồ thị hàm số đã cho có 2 điểm cực trị $A(0;-1);B(2;-5)$.
Phương trình đường thẳng $AB$ là: ${\displaystyle \frac{x-0}{2-0}}={\displaystyle \frac{y+1}{-5+1}}\iff y=-2x-1$.
Để $AB\mathrm{\perp }d$ thì $(3m+1).(-2)=-1\iff 3m+1={\displaystyle \frac{1}{2}}\iff m=-{\displaystyle \frac{1}{6}}$.