Tìm giá trị thực của tham số $m$ để đường thẳng $d:y=\left( 3m+1 \right)x+3+m$ vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số...

Phương pháp giải:
- Giải phương trình ${y}'=0$, từ đó xác định 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số $A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$.
- Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số: $AB:\dfrac{x-{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}=\dfrac{y-{{y}_{1}}}{{{y}_{2}}-{{y}_{1}}}$.
- Hai đường thẳng $d:y=ax+b$ và ${d}':y={a}'x+{b}'$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi $a.{a}'=-1$.
Giải chi tiết:
Ta có: $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-1\Rightarrow {y}'=3{{x}^{2}}-6x$.
${y}'=0\Leftrightarrow 3x\left( x-2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0\Rightarrow y=-1 \\
x=2\Rightarrow y=1 \\
\end{array} \right. $, do đó đồ thị hàm số đã cho có 2 điểm cực trị $ A\left( 0;-1 \right);B\left( 2;-5 \right)$.
Phương trình đường thẳng $AB$ là: $\dfrac{x-0}{2-0}=\dfrac{y+1}{-5+1}\Leftrightarrow y=-2x-1$.
Để $AB\bot d$ thì $\left( 3m+1 \right).\left( -2 \right)=-1\Leftrightarrow 3m+1=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow m=-\dfrac{1}{6}$.