Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\dfrac{{{x}^{3}}z}{{{y}^{2}}\left(xz+{{y}^{2}} \right)}+\dfrac{{{y}^{4}}}{{{z}^{2}}\left( xz+{{y}^{2}}...

The Collectors · 29/5/21

Câu hỏi: Tìm giá trị nhỏ nhất của

P = \frac{x^{3} z}{y^{2} (x z + y^{2})} + \frac{y^{4}}{z^{2} (x z + y^{2})} + \frac{z^{3} + 15 x^{3}}{x^{2} z},

biết

0 < x < y < z .

A. 12.
B. 10.
C. 14.
D. 18.

Ta có:

P = \frac{x^{3} z}{y^{2} (x z + y^{2})} + \frac{y^{4}}{z^{2} (x z + y^{2})} + \frac{z^{3} + 15 x^{3}}{x^{2} z} = \frac{{(\frac{x}{y})}^{3}}{(\frac{x}{y} + \frac{y}{z})} + \frac{{(\frac{y}{z})}^{3}}{(\frac{x}{y} + \frac{y}{z})} + {(\frac{z}{x})}^{2} + \frac{15}{\frac{z}{x}}

Đặt

a = \frac{x}{y} < 1, b = \frac{y}{z} < 1, c = \frac{z}{x} > 1

và

a b c = 1 \Leftrightarrow a b = \frac{1}{c} .

Ta được:

P = \frac{a^{3}}{(a + b)} + \frac{b^{3}}{(a + b)} + c^{2} + \frac{15}{c} = a^{2} + b^{2} - a b + c^{2} + \frac{15}{c} \geq a b + c^{2} + \frac{15}{c}

= c^{2} + \frac{16}{c} = c^{2} + \frac{8}{c} + \frac{8}{c} \geq 3 \sqrt[3]{c^{2} . \frac{8}{c} . \frac{8}{c}} = 12.

Vậy

P_{min} = 12

khi và chỉ khi

{\begin{aligned} a = b \\ a b c = 1 \\ c^{2} = \frac{8}{c} \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} a = b = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ c = 2 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} x = \frac{1}{\sqrt{2}} y \\ y = \frac{1}{\sqrt{2}} z \\ z = 2 x \end{aligned} .

Đáp án A.