Tìm các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $\sqrt{2-x}+\sqrt{1+x}=\sqrt{m+x-{{x}^{2}}}$ có hai nghiệm phân biệt.

$\sqrt{2-x}+\sqrt{1+x}=\sqrt{m+x-{{x}^{2}}}\left( 1 \right)$
Điều kiện: $-1\le x\le 2.$
Phương trình trở thành: $2-x+1+x+2\sqrt{2+x-{{x}^{2}}}=m+x-{{x}^{2}}.$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{2+x-{{x}^{2}}}=\left( 2+x-{{x}^{2}} \right)+m-5$
Đặt $t=\sqrt{2+x-{{x}^{2}}}.$
Xét hàm số $f\left( x \right)=2+x-{{x}^{2}}$ trên $\left[ -1;2 \right].$
$f'\left( x \right)=-2x+1.$
$f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow y=\dfrac{9}{4}.$
Bảng biến thiên:


Vậy $t\in \left[ 0;\dfrac{3}{2} \right].$
Phương trình trở thành:
$m=-{{t}^{2}}+2t+5\left( 2 \right)$ với $t\in \left[ 0;\dfrac{3}{2} \right].$
Xét hàm số $g\left( x \right)=-{{t}^{2}}+2t+5.$
$g'\left( t \right)=-2t+2.$
$g'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow f\left( 1 \right)=6.$
$g\left( 0 \right)=5;g\left( \dfrac{3}{2} \right)=\dfrac{23}{4}.$
Bảng biến thiên:


Cứ 1 nghiệm $t\in \left[ 0;\dfrac{3}{2} \right)$ thì tồn tại 2 nghiệm $x\in \left[ -1;2 \right].$
Vậy để phương trình $\left( 1 \right)$ có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow $ phương trình $\left( 2 \right)$ có 1 nghiệm $t\in \left[ 0;\dfrac{3}{2} \right).$
Dựa vào bảng biến thiên ta có $m\in \left[ 5;\dfrac{23}{4} \right)\cup \left\{ 6 \right\}.$