Tìm các giá trị của tham số $m$ để phương trình $\log _{3}^{2}x-\left( m+2 \right).{{\log }_{3}}x+3m-1=0$ có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ sao...

Điều kiện: $x>0$
Đặt $l{{o}_{3}}x=t\Rightarrow x={{3}^{t}}$
Khi đó ta có phương trình: ${{t}^{2}}-\left( m+2 \right)t+3m-1=0\left( * \right)$
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow $ phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm $t$ phân biệt
$\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow {{\left( m+2 \right)}^{2}}-4\left( 3m-1 \right)>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}+4m+4-12m+4>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-8m+8>0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>4+2\sqrt{2} \\
& m<4-2\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.$
Với $\left[ \begin{aligned}
& m>4+2\sqrt{2} \\
& m<4-2\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right. $ có hai nghiệm phân biệt $ {{t}_{1}};{{t}_{2}} $ thì phương trình đã cho có 2 nghiệm $ {{x}_{1}};{{x}_{2}} $ với $ {{x}_{1}}={{3}^{{{t}_{2}}}},{{x}_{2}}={{3}^{{{t}_{1}}}}$
Áp dụng hệ thức Vi-ét với phương trình (*) ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=m+2 \\
& {{t}_{1}}{{t}_{2}}=3m-1 \\
\end{aligned} \right.$
Theo đề bài ta có: ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=27\Leftrightarrow {{3}^{{{t}_{1}}}}{{.3}^{{{t}_{2}}}}={{3}^{{{t}_{1}}+{{t}_{2}}}}=27\Leftrightarrow {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=3\Leftrightarrow m+2=3\Leftrightarrow m=1\left( tm \right).$