Tìm các giá trị của tham số $m$ để phương trình ${\log }_3^{2}x-(m+2).{\log }_{3}x+3m-1=0$ có hai nghiệm $x_1,x_2$ sao...

Điều kiện: $x>0$
Đặt $l{o}_{3}x=t\Rightarrow x=3^t$
Khi đó ta có phương trình: $t^2-(m+2)t+3m-1=0(\ast )$
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $\iff$ phương trình $(\ast )$ có hai nghiệm $t$ phân biệt
$\iff \mathrm{\Delta }>0\iff {(m+2)}^2-4(3m-1)>0\iff m^2+4m+4-12m+4>0\iff m^2-8m+8>0$
$\iff [\begin{array}{rl}& m>4+2\sqrt{2}\\ & m<4-2\sqrt{2}\end{array}$
Với $[\begin{array}{rl}& m>4+2\sqrt{2}\\ & m<4-2\sqrt{2}\end{array}$ có hai nghiệm phân biệt $t_1;t_2$ thì phương trình đã cho có 2 nghiệm $x_1;x_2$ với $x_1=3^{t_2},x_2=3^{t_1}$
Áp dụng hệ thức Vi-ét với phương trình (*) ta có: $\{\begin{array}{rl}& t_1+t_2=m+2\\ & t_1{t}_2=3m-1\end{array}$
Theo đề bài ta có: $x_1{x}_2=27\iff 3^{t_1}{.3}^{t_2}=3^{t_1+t_2}=27\iff t_1+t_2=3\iff m+2=3\iff m=1\left(tm\right).$