Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\dfrac{x}{3}-2{{x}^{2}}+3x+1$ song song với đường thẳng $y=3x+1$ có phương trình là

Ta có: $y'={{x}^{2}}-4x+3.$
Gọi $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là điểm thuộc đồ thị hàm số đã cho với ${{y}_{0}}=\dfrac{x_{0}^{3}}{3}-2x_{0}^{2}+3{{x}_{0}}+1.$
Do tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ song song với đường thẳng $y=3x+1$ nên ta có:
$y'\left( {{x}_{0}} \right)=3\Leftrightarrow x_{0}^{2}-4{{x}_{0}}+3=3\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{0}}=0\Rightarrow {{y}_{0}}=1 \\
& {{x}_{0}}=4\Rightarrow {{y}_{0}}=\dfrac{7}{3} \\
\end{aligned} \right..$
- Tại điểm $M\left( 0;1 \right)$ phương trình tiếp tuyến là: $y-1=3\left( x-0 \right)\Leftrightarrow y=3x+1.$
- Tại điểm $M\left( 4;\dfrac{7}{3} \right)$ phương trình tiếp tuyến là: $y-\dfrac{7}{3}=3\left( x-4 \right)\Leftrightarrow y=3x-\dfrac{29}{3}.$
Vậy tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\dfrac{{{x}^{3}}}{3}-2{{x}^{2}}+3x+1$ song song với đường thẳng $y=3x+1$ có phương trình là $y=3x-\dfrac{29}{3}.$