Bài toán
Tại hai điểm $A,B$ trên mặt nước cách nhau $20~\text{cm}$ có hai nguồn sóng kết hợp dao động cùng pha với bước sóng lan truyền là $2~\text{cm}$. Gọi $O$ là trung điểm của $AB$ và $M$ là một điểm trên mặt nước dao động với biên độ cực đại, giữa $M$ là trung trực $AB$ có ba dãy cực đại khác. CÙng dịch chuyển liên tiếp hai nguồn về phía $O$ những khoảng bằng nhau và bằng $\dfrac{\lambda}{2}$ cho đến khi $M$ dao động với biên độ cực đại, giữa $M$ và đường trung trực của $AB$ còn có $2$ dãy cực đại khác. Biết khoảng cách $OM$ không quá $10~\text{cm}$. Số lần phải dịch chuyển tối thiểu là:
A. $4$
B. $6$
C. $3$
D. $5$
Trích đề thi thử lần 5 của Bamabel.
Một bài đậm chất Toán!
Gọi \[N\]là hình chiếu của \[M\]lên \[AB\]. Đặt \[ON=x\left\{ 0<x<OB=10\left(cm \right) \right\}\].
Theo bài ra \[M\] là một điểm trên mặt nước dao động với biên độ cực đại.
Ban đầu, giữa \[M\] là trung trực \[AB\] có ba dãy cực đại khác nên \[M\]thuộc cực đại số 4:
\[MA-MB=4\lambda =8\left(1 \right)\]
Không khó để nhận thấy các tam giác \[AMN\]và \[BMN\]đều vuông tại \[N\].
Sử dụng định lí \[Pytago\]cho các tam giác vuông này: \[\left\{ \begin{align}
& M{{A}^{2}}=M{{N}^{2}}+N{{A}^{2}} \\
& M{{B}^{2}}=M{{N}^{2}}+N{{B}^{2}} \\
\end{align} \right.\]. Từ đây, rút ra:
\[M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}=A{{N}^{2}}-N{{B}^{2}}=\left(AN-BN \right)\underbrace{\left(AN+BN \right)}_{=AB=20\left(cm \right)}=\left(\underbrace{AO}_{=10\left( cm \right)}+\underbrace{ON}_{=x}-\left(\underbrace{AO}_{=10\left( cm \right)}-\underbrace{ON}_{=x} \right) \right). 20=40x\].
Từ đó: \[MA+MB=\dfrac{M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}}{MA-MB}=\dfrac{40x}{8}=5x\left(2 \right)\].
Từ \[\left(1 \right);\left(2 \right)\]ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{align}
& MA+MB=5x \\
& MA-MB=8 \\
\end{align} \right.\Rightarrow MB=\dfrac{5x-8}{2}\].
Áp dụng định lí \[Pytago\]cho tam giác vuông \[BMN\]ta có:
\[M{{N}^{2}}=M{{B}^{2}}-B{{N}^{2}}={{\left(\dfrac{5x-8}{2} \right)}^{2}}-{{\left(10-x \right)}^{2}}=\dfrac{21{{x}^{2}}-72x-36}{4}\]\[\left(5 \right)\].
Lúc sau, giữa \[M\] và đường trung trực của \[AB\] còn có \[2\] dãy cực đại khác, tức là \[M\]thuộc cực đại số \[3\]: \[M{{A}^{'}}-M{{B}^{'}}=3\lambda =6\left(3 \right)\].
Gọi số lần dịch chuyển là \[y\]thì \[y\in {{\mathbb{N}}^{*}}\], khi đó: \[{{A}^{'}}B'=AB-2y.\dfrac{\lambda }{2}=20-2y\].
Lập luận tương tự như trên ta có: \[{{A}^{'}}{{M}^{2}}-{{B}^{'}}{{M}^{2}}=2x\left(20-2y \right)\].
Từ đó: \[M{{A}^{'}}-M{{B}^{'}}=\dfrac{2x\left(20-2y \right)}{6}=\dfrac{x\left(20-2y \right)}{3}\left(4 \right)\].
Từ \[\left(3 \right);\left(4 \right)\]ta có: \[\left\{ \begin{align}
& M{{A}^{'}}+M{{B}^{'}}=\dfrac{x\left(20-2y \right)}{3} \\
& M{{A}^{'}}-M{{B}^{'}}=6 \\
\end{align} \right.\Rightarrow M{{B}^{'}}=\dfrac{20x-2xy-18}{6}\].
Áp dụng định lí \[Pytago\]cho tam giác vuông \[{{B}^{'}}MN\]ta có:
\[M{{N}^{2}}={{B}^{'}}{{M}^{2}}-{{B}^{'}}{{N}^{2}}={{\left(\dfrac{20x-2xy-18}{6} \right)}^{2}}-{{\left(10-y-x \right)}^{2}}\]\[\left(6 \right)\].
Từ \[\left(5 \right);\left(6 \right)\]ta có: \[\dfrac{21{{x}^{2}}-72x-36}{4}={{\left(\dfrac{20x-2xy-18}{6} \right)}^{2}}-{{\left(10-y-x \right)}^{2}}\].
Khi đó: \[O{{M}^{2}}=O{{N}^{2}}+M{{N}^{2}}={{x}^{2}}+\dfrac{21{{x}^{2}}-72x-36}{4}=\dfrac{23{{x}^{2}}-72x-36}{4}\]. Theo bài \[O{{M}^{2}}<100\].
Do bài toán này là bài trắc nghiệm, nên chúng ta hoàn toàn có thể thử đáp án: \[y\in \left\{ 3; 4; 5; 6 \right\}\].
Không còn sự lựa chọn nào khác, chúng ta tiến hành thử lần lượt các giá trị của \[\]:
+ Với \[y=3\], bằng sự trợ giúp của máy tính bỏ túi, chúng ta tìm ra: \[\left[ \begin{align}
& x\approx 1,88\left(cm \right) \\
& x\approx 20,46\left(cm \right) \\
\end{align} \right.\].
Khi đó thay lần lượt vào biểu thức xác định \[O{{M}^{2}}\], ta thấy cả hai giá trị này đều làm \[O{{M}^{2}}>100\].
+ Với \[y=4\], bằng sự trợ giúp của máy tính bỏ túi, chúng ta tìm ra: \[\left[ \begin{align}
& x\approx 1,172\left(cm \right) \\
& x\approx 6,828\left(cm \right) \\
\end{align} \right.\].
Khi đó thay lần lượt vào biểu thức xác định \[O{{M}^{2}}\], ta thấy cả hai giá trị này đều làm \[O{{M}^{2}}>100\].
+ Với \[y=5\], bằng sự trợ giúp của máy tính bỏ túi, chúng ta tìm ra: \[\left[ \begin{align}
& x\approx 0,423\left(cm \right) \\
& x\approx 4,76\left(cm \right) \\
\end{align} \right.\].
Thay vào, ta thấy có giá trị \[x=4,76\left(cm \right)\] làm cho \[O{{M}^{2}}<100\].
Như vậy, giá trị nhỏ nhất của \[\]thoả mãn là \[\].
Hay nói cách khác số lần dịch chuyển tối thiểu
bằng 5.
Google
