Google
Câu hỏi: Ở mặt thoáng của một chất lỏng có hai nguồn kết hợp A, B cách nhau 10cm, dao động theo phương thẳng đứng với phương trình lần lượt là ${{u}_{A}}=3.\cos \left( 40\pi t+\dfrac{\pi }{6} \right)cm$ và ${{u}_{B}}=4\cos \left( 40\pi t+\dfrac{2\pi }{3} \right)cm.$ Cho biết tốc độ truyền sóng là 40cm/s. Một đường tròn có tâm là trung điểm của AB, nằm trên mặt nước, có bán kính R = 4cm. Số điểm dao động với biên độ 5cm có trên đường tròn là
A. 32
B. 16
C. 17
D. 34
A. 32
B. 16
C. 17
D. 34
Phương pháp:
Bước sóng: $\lambda =vT=\dfrac{v}{f}$
Viết phương trình sóng giao thoa.
Biên độ dao động tổng hợp: $A=\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2{{A}_{1}}{{A}_{2}}.\cos \Delta \varphi }$
Để $A=\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}}\Rightarrow \cos \Delta \varphi =0\Leftrightarrow \Delta \varphi =\dfrac{\pi }{2}+k\pi $
Cách giải:
Phương trình sóng tại hai nguồn: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{u}_{A}}=3.\cos \left( 40\pi t+\dfrac{\pi }{6} \right)cm \\
{{u}_{B}}=4\cos \left( 40\pi t+\dfrac{2\pi }{3} \right)cm \\
\end{array} \right.$
Xét điểm M trên A'B' có: ${{d}_{1}}=AM;{{d}_{2}}=BM$
Bước sóng: $\lambda =v.T=v.\dfrac{2\pi }{\omega }=40.\dfrac{2\pi }{40\pi }=2cm$
Sóng truyền từ A đến M có phương trình:
${{u}_{AM}}=3.\cos \left( 40\pi t+\dfrac{\pi }{6}-\dfrac{2\pi .{{d}_{1}}}{\lambda } \right)=3.\cos \left( 40\pi t+\dfrac{\pi }{6}-\pi .{{d}_{1}} \right)$
Sóng truyền từ B đến M có phương trình:
${{u}_{BM}}=4\cos \left( 40\pi t+\dfrac{2\pi }{3}-\dfrac{2\pi {{d}_{2}}}{\lambda } \right)=4\cos \left( 40\pi t+\dfrac{2\pi }{3}-\pi {{d}_{2}} \right)cm$
Mà ${{d}_{1}}+{{d}_{2}}=10cm\Rightarrow {{d}_{2}}=10-{{d}_{1}}$
$\Rightarrow {{u}_{BM}}=4\cos \left[ 40\pi t+\dfrac{2\pi }{3}-\pi \left( 10-{{d}_{1}} \right) \right]=4.\cos \left( 40\pi t+\dfrac{2\pi }{3}+\pi {{d}_{1}} \right)$
Phương trình sóng giao thoa tại M:
${{u}_{M}}=3.\cos \left( 40\pi t+\dfrac{\pi }{6}-\pi .{{d}_{1}} \right)+4.\cos \left( 40\pi t+\dfrac{2\pi }{3}+\pi {{d}_{1}} \right)$ $={{A}_{M}}.\cos (40\pi t+\varphi )$
Với: ${{A}_{M}}=\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}+2.3.4.\cos \left[ \left( \dfrac{2\pi }{3}+\pi {{d}_{1}} \right)-\left( \dfrac{\pi }{6}-\pi .{{d}_{1}} \right) \right]}$
Để ${{A}_{M}}=5cm\Leftrightarrow \cos \left[ \left( \dfrac{2\pi }{3}+\pi {{d}_{1}} \right)-\left( \dfrac{\pi }{6}-\pi .{{d}_{1}} \right) \right]=0$
$\Leftrightarrow \left( \dfrac{2\pi }{3}+\pi {{d}_{1}} \right)-\left( \dfrac{\pi }{6}-\pi .{{d}_{1}} \right)=\dfrac{\pi }{2}+k\pi \Rightarrow {{d}_{1}}=\dfrac{k}{2}$
Do $A{A}'\le {{d}_{1}}\le A{B}'\Leftrightarrow 1\le \dfrac{k}{2}\le 9\Leftrightarrow 2\le k\le 18\Rightarrow k=2;3;4;\ldots ;18$
Như vậy trên A'B' có 17 điểm dao động với biên độ 5cm trong đó có điểm A' và B'.
Suy ra trên đường tròn tâm O bán kính R = 4cm có $17.2-2=32$ điểm dao động với biên độ 5cm.
Bước sóng: $\lambda =vT=\dfrac{v}{f}$
Viết phương trình sóng giao thoa.
Biên độ dao động tổng hợp: $A=\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2{{A}_{1}}{{A}_{2}}.\cos \Delta \varphi }$
Để $A=\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}}\Rightarrow \cos \Delta \varphi =0\Leftrightarrow \Delta \varphi =\dfrac{\pi }{2}+k\pi $
Cách giải:
Phương trình sóng tại hai nguồn: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{u}_{A}}=3.\cos \left( 40\pi t+\dfrac{\pi }{6} \right)cm \\
{{u}_{B}}=4\cos \left( 40\pi t+\dfrac{2\pi }{3} \right)cm \\
\end{array} \right.$
Xét điểm M trên A'B' có: ${{d}_{1}}=AM;{{d}_{2}}=BM$
Bước sóng: $\lambda =v.T=v.\dfrac{2\pi }{\omega }=40.\dfrac{2\pi }{40\pi }=2cm$
Sóng truyền từ A đến M có phương trình:
${{u}_{AM}}=3.\cos \left( 40\pi t+\dfrac{\pi }{6}-\dfrac{2\pi .{{d}_{1}}}{\lambda } \right)=3.\cos \left( 40\pi t+\dfrac{\pi }{6}-\pi .{{d}_{1}} \right)$
Sóng truyền từ B đến M có phương trình:
${{u}_{BM}}=4\cos \left( 40\pi t+\dfrac{2\pi }{3}-\dfrac{2\pi {{d}_{2}}}{\lambda } \right)=4\cos \left( 40\pi t+\dfrac{2\pi }{3}-\pi {{d}_{2}} \right)cm$
Mà ${{d}_{1}}+{{d}_{2}}=10cm\Rightarrow {{d}_{2}}=10-{{d}_{1}}$
$\Rightarrow {{u}_{BM}}=4\cos \left[ 40\pi t+\dfrac{2\pi }{3}-\pi \left( 10-{{d}_{1}} \right) \right]=4.\cos \left( 40\pi t+\dfrac{2\pi }{3}+\pi {{d}_{1}} \right)$
Phương trình sóng giao thoa tại M:
${{u}_{M}}=3.\cos \left( 40\pi t+\dfrac{\pi }{6}-\pi .{{d}_{1}} \right)+4.\cos \left( 40\pi t+\dfrac{2\pi }{3}+\pi {{d}_{1}} \right)$ $={{A}_{M}}.\cos (40\pi t+\varphi )$
Với: ${{A}_{M}}=\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}+2.3.4.\cos \left[ \left( \dfrac{2\pi }{3}+\pi {{d}_{1}} \right)-\left( \dfrac{\pi }{6}-\pi .{{d}_{1}} \right) \right]}$
Để ${{A}_{M}}=5cm\Leftrightarrow \cos \left[ \left( \dfrac{2\pi }{3}+\pi {{d}_{1}} \right)-\left( \dfrac{\pi }{6}-\pi .{{d}_{1}} \right) \right]=0$
$\Leftrightarrow \left( \dfrac{2\pi }{3}+\pi {{d}_{1}} \right)-\left( \dfrac{\pi }{6}-\pi .{{d}_{1}} \right)=\dfrac{\pi }{2}+k\pi \Rightarrow {{d}_{1}}=\dfrac{k}{2}$
Do $A{A}'\le {{d}_{1}}\le A{B}'\Leftrightarrow 1\le \dfrac{k}{2}\le 9\Leftrightarrow 2\le k\le 18\Rightarrow k=2;3;4;\ldots ;18$
Như vậy trên A'B' có 17 điểm dao động với biên độ 5cm trong đó có điểm A' và B'.
Suy ra trên đường tròn tâm O bán kính R = 4cm có $17.2-2=32$ điểm dao động với biên độ 5cm.
Đáp án A.