Google
Câu hỏi: Ở mặt nước, một nguồn sóng đặt tại điểm O dao động điều hòa theo phương thẳng đứng. Sóng truyền trên mặt nước có bước sóng λ. Chọn hệ tọa độ vuông góc Oxy (thuộc mặt nước). Hai điểm P và Q nằm trên Ox, P dao động ngược pha với O còn Q dao động cùng pha với O. Giữa khoảng OP có 4 điểm dao động ngược pha với O, giữa khoảng OQ có 8 điểm dao động ngược pha với O. Trên trục Oy có điểm M sao cho góc PMQ đạt giá trị lớn nhất. Tìm số điểm dao động ngược pha với O trên đoạn MQ?
A. 7.
B. 6.
C. 5.
D. 4..
A. 7.
B. 6.
C. 5.
D. 4..
Phương pháp:
Độ lệch pha: $\Delta \varphi =\dfrac{2\pi d}{\lambda }$
Công thức lượng giác: $\tan (a-b)=\dfrac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}$
Hàm số f (x) đạt cực trị khi $f_{(x)}^{'}=0$
Hệ thức lượng trong tam giác vuông: $\dfrac{1}{{{\text{h}}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\text{b}}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\text{c}}^{2}}}$
Cách giải:
Điểm P dao động ngược pha với nguồn, giữa OP có 4 điểm ngược pha với O, ta có:
$\Delta {{\varphi }_{P}}=\dfrac{2\pi. OP}{\lambda }=(2k+1)\pi; k=4\Rightarrow OP=4,5\lambda $
Điểm P dao động cùng pha với nguồn, giữa OQ có 8 điểm ngược pha với nguồn → k = 8
$\Delta {{\varphi }_{Q}}=\dfrac{2\pi. OQ}{\lambda }=8.2\pi \Rightarrow OQ=8\lambda $
Ta có hình vẽ:
Ta có: $\text{PMQ}=\text{OMQ}-\text{OMP}\Rightarrow \tan \text{PMQ}=\tan (\text{OMQ}-\text{OMP})$
$\Rightarrow \tan \text{PMQ}=\dfrac{\tan \text{OMQ}-\tan \text{OMP}}{1+\tan \text{OMQ}\text{.}\tan \text{OMP}}=\dfrac{\dfrac{\text{OQ}}{\text{OM}}-\dfrac{\text{OP}}{\text{OM}}}{1+\dfrac{\text{OQ}}{\text{OM}}\cdot \dfrac{\text{OP}}{\text{OM}}}=\dfrac{\text{OM}.(\text{OQ}-\text{OP})}{\text{O}{{\text{M}}^{2}}+\text{OQ}.\text{OP}}=\dfrac{\text{OM}\text{. PQ}}{\text{O}{{\text{M}}^{2}}+\text{OP}.\text{OQ}}$
Đặt $\text{OM}=\text{x}\Rightarrow \text{f}(\text{x})=\dfrac{\text{x}\text{. PQ}}{{{\text{x}}^{2}}+\text{OP}.\text{OQ}}$
Xét ${f}'(x)=\dfrac{PQ.\left({{x}^{2}}+OP. OQ \right)-2x. X. PQ}{{{\left({{x}^{2}}-OP. OQ \right)}^{2}}}=\dfrac{-{{x}^{2}}. PQ+PQ. OP. OQ}{{{\left({{x}^{2}}-OP. OQ \right)}^{2}}}$
Để $\text{f}{{(\text{x})}_{\max }}\Rightarrow \text{f}_{(\text{x})}^{\prime }=0\Rightarrow -{{\text{x}}^{2}}\text{. PQ}+\text{PQ}\text{. OP}.\text{OQ}=0\Rightarrow \text{x}=\sqrt{\text{OP}.\text{OQ}}=6\lambda $
Kẻ OH ⊥ MQ
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông OMQ, ta có:
$\dfrac{1}{\text{O}{{\text{H}}^{2}}}=\dfrac{1}{\text{O}{{\text{M}}^{2}}}+\dfrac{1}{\text{O}{{\text{Q}}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{\text{O}{{\text{H}}^{2}}}=\dfrac{1}{{{(6\lambda)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{(8\lambda)}^{2}}}\Rightarrow \text{OH}=4,8\lambda $
Số điểm dao động ngược pha với O trên đoạn MH thỏa mãn:
$\text{OH}\le (2\text{k}+1)\lambda \le \text{OM}\Rightarrow 4,8\lambda \le (2\text{k}+1)\lambda \le 6\lambda \Rightarrow 1,9\le \text{k}\le 2,5\Rightarrow \text{k}=2$
→ trên MH có 1 điểm dao động ngược pha với nguồn
Số điểm dao động ngược pha với O trên đoạn QH thỏa mãn:
$\text{OH}\le (2\text{k}+1)\le \text{OQ}\Rightarrow 4,8\lambda \le (2\text{k}+1)\lambda \le 8\lambda \Rightarrow 1,9\le \text{k}\le 3,5\Rightarrow \text{k}=1; 2; 3$
→ trên QH có 3 điểm dao động ngược pha với nguồn
→ Trên MQ có 4 điểm dao động ngược pha với nguồn
Độ lệch pha: $\Delta \varphi =\dfrac{2\pi d}{\lambda }$
Công thức lượng giác: $\tan (a-b)=\dfrac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}$
Hàm số f (x) đạt cực trị khi $f_{(x)}^{'}=0$
Hệ thức lượng trong tam giác vuông: $\dfrac{1}{{{\text{h}}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\text{b}}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\text{c}}^{2}}}$
Cách giải:
Điểm P dao động ngược pha với nguồn, giữa OP có 4 điểm ngược pha với O, ta có:
$\Delta {{\varphi }_{P}}=\dfrac{2\pi. OP}{\lambda }=(2k+1)\pi; k=4\Rightarrow OP=4,5\lambda $
Điểm P dao động cùng pha với nguồn, giữa OQ có 8 điểm ngược pha với nguồn → k = 8
$\Delta {{\varphi }_{Q}}=\dfrac{2\pi. OQ}{\lambda }=8.2\pi \Rightarrow OQ=8\lambda $
Ta có hình vẽ:
Ta có: $\text{PMQ}=\text{OMQ}-\text{OMP}\Rightarrow \tan \text{PMQ}=\tan (\text{OMQ}-\text{OMP})$
$\Rightarrow \tan \text{PMQ}=\dfrac{\tan \text{OMQ}-\tan \text{OMP}}{1+\tan \text{OMQ}\text{.}\tan \text{OMP}}=\dfrac{\dfrac{\text{OQ}}{\text{OM}}-\dfrac{\text{OP}}{\text{OM}}}{1+\dfrac{\text{OQ}}{\text{OM}}\cdot \dfrac{\text{OP}}{\text{OM}}}=\dfrac{\text{OM}.(\text{OQ}-\text{OP})}{\text{O}{{\text{M}}^{2}}+\text{OQ}.\text{OP}}=\dfrac{\text{OM}\text{. PQ}}{\text{O}{{\text{M}}^{2}}+\text{OP}.\text{OQ}}$
Đặt $\text{OM}=\text{x}\Rightarrow \text{f}(\text{x})=\dfrac{\text{x}\text{. PQ}}{{{\text{x}}^{2}}+\text{OP}.\text{OQ}}$
Xét ${f}'(x)=\dfrac{PQ.\left({{x}^{2}}+OP. OQ \right)-2x. X. PQ}{{{\left({{x}^{2}}-OP. OQ \right)}^{2}}}=\dfrac{-{{x}^{2}}. PQ+PQ. OP. OQ}{{{\left({{x}^{2}}-OP. OQ \right)}^{2}}}$
Để $\text{f}{{(\text{x})}_{\max }}\Rightarrow \text{f}_{(\text{x})}^{\prime }=0\Rightarrow -{{\text{x}}^{2}}\text{. PQ}+\text{PQ}\text{. OP}.\text{OQ}=0\Rightarrow \text{x}=\sqrt{\text{OP}.\text{OQ}}=6\lambda $
Kẻ OH ⊥ MQ
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông OMQ, ta có:
$\dfrac{1}{\text{O}{{\text{H}}^{2}}}=\dfrac{1}{\text{O}{{\text{M}}^{2}}}+\dfrac{1}{\text{O}{{\text{Q}}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{\text{O}{{\text{H}}^{2}}}=\dfrac{1}{{{(6\lambda)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{(8\lambda)}^{2}}}\Rightarrow \text{OH}=4,8\lambda $
Số điểm dao động ngược pha với O trên đoạn MH thỏa mãn:
$\text{OH}\le (2\text{k}+1)\lambda \le \text{OM}\Rightarrow 4,8\lambda \le (2\text{k}+1)\lambda \le 6\lambda \Rightarrow 1,9\le \text{k}\le 2,5\Rightarrow \text{k}=2$
→ trên MH có 1 điểm dao động ngược pha với nguồn
Số điểm dao động ngược pha với O trên đoạn QH thỏa mãn:
$\text{OH}\le (2\text{k}+1)\le \text{OQ}\Rightarrow 4,8\lambda \le (2\text{k}+1)\lambda \le 8\lambda \Rightarrow 1,9\le \text{k}\le 3,5\Rightarrow \text{k}=1; 2; 3$
→ trên QH có 3 điểm dao động ngược pha với nguồn
→ Trên MQ có 4 điểm dao động ngược pha với nguồn
Đáp án D.