Google
Câu hỏi: Nối hai cực của một máy phát điện xoay chiều một pha vào hai đầu đoạn mạch AB gồm điện trở thuần $R=100\sqrt{2}\Omega $, cuộn cảm thuần L = 5/3π H và tụ điện $C=\dfrac{{{5.10}^{-4}}}{6\pi }F$ mắc nối tiếp. Bỏ qua điện trở các cuộn dây của máy phát điện và điện trở dây nối. Máy phát điện có số cặp cực không đổi, tốc độ quay của roto thay đổi được Khi tốc độ quay của roto bằng n (vòng/phút) thì công suất của mạch đạt giá trị lớn nhất bằng 161,5W. Khi tốc độ quay của roto bằng 2n (vòng/phút) thì công suất tiêu thụ của mạch là:
A. 136W
B. 126W
C. 148W
D. 125W
+ Khi tốc độ quay của roto là n (vòng/phút):
$P=\dfrac{{{\omega }^{2}}{{\Phi }^{2}}. R}{{{R}^{2}}+{{\left({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}=\dfrac{{{\omega }^{2}}{{\Phi }^{2}}. R}{{{R}^{2}}+{{\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C} \right)}^{2}}}=\dfrac{{{\omega }^{2}}{{\Phi }^{2}}. R}{{{R}^{2}}+{{\omega }^{2}}{{L}^{2}}-\dfrac{2L}{C}+\dfrac{1}{{{\omega }^{2}}{{C}^{2}}}}=\dfrac{{{\Phi }^{2}}. R}{\dfrac{{{R}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}+{{L}^{2}}-\dfrac{2L}{{{\omega }^{2}}C}+\dfrac{1}{{{\omega }^{4}}{{C}^{2}}}}$ $\Rightarrow P=\dfrac{{{\Phi }^{2}}. R}{\dfrac{1}{{{\omega }^{4}}{{C}^{2}}}+\left({{R}^{2}}-\dfrac{2L}{C} \right)\dfrac{1}{{{\omega }^{2}}}+{{L}^{2}}}$
${{P}_{\max }}\Leftrightarrow {{\left[ \dfrac{1}{{{\omega }^{4}}{{C}^{2}}}+\left({{R}^{2}}-\dfrac{2L}{C} \right)\dfrac{1}{{{\omega }^{2}}}+{{L}^{2}} \right]}_{\min }}\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{\omega }^{2}}}=\dfrac{\dfrac{2L}{C}-{{R}^{2}}}{\dfrac{2}{{{C}^{2}}}}=\dfrac{2\dfrac{5}{3\pi }.\dfrac{6\pi }{{{5.10}^{-4}}}-{{\left(100\sqrt{2} \right)}^{2}}}{\dfrac{2}{{{\left(\dfrac{6\pi }{{{5.10}^{-4}}} \right)}^{2}}}}=\dfrac{1}{14400{{\pi }^{2}}}$ $\Rightarrow \omega =120\pi \Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{Z}_{L}}=\omega L=120\pi .\dfrac{5}{3\pi }=200\Omega \\
& {{Z}_{C}}=\dfrac{1}{\omega C}=\dfrac{1}{120\pi .\dfrac{{{5.10}^{-4}}}{6\pi }}=100\Omega \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{P}_{m{ax}}}=\dfrac{{{\omega }^{2}}{{\Phi }^{2}}R}{{{R}^{2}}+{{\left(200-100 \right)}^{2}}}=161,5\left(*\right)$
+ Khi tốc độ quay của roto là 2n (vòng/phút)
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{Z}_{L}}^{\prime }=2{{Z}_{L}}=400\Omega \\
& {{Z}_{C}}^{\prime }=\dfrac{{{Z}_{C}}}{2}=50\Omega \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {P}'=\dfrac{{{\omega }^{2}}{{\Phi }^{2}}R}{{{R}^{2}}+{{\left({{Z}_{L}}^{\prime }-{{Z}_{C}}^{\prime } \right)}^{2}}}=\dfrac{4{{\omega }^{2}}R}{{{R}^{2}}+{{\left(400-50 \right)}^{2}}}\left(**\right)$
Từ (*) và (**)
$\Rightarrow \dfrac{{{P}'}}{{{P}_{m{ax}}}}=\dfrac{{{\omega }^{\prime 2}}}{{{\omega }^{2}}}.\dfrac{{{R}^{2}}+{{\left(200-100 \right)}^{2}}}{{{R}^{2}}+{{\left(400-50 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{{{P}'}}{161,5}=4.\dfrac{{{\left(100\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{100}^{2}}}{{{\left(100\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{350}^{2}}}=\dfrac{16}{19}\Rightarrow {P}'=136W$
A. 136W
B. 126W
C. 148W
D. 125W
+ Khi tốc độ quay của roto là n (vòng/phút):
$P=\dfrac{{{\omega }^{2}}{{\Phi }^{2}}. R}{{{R}^{2}}+{{\left({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}=\dfrac{{{\omega }^{2}}{{\Phi }^{2}}. R}{{{R}^{2}}+{{\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C} \right)}^{2}}}=\dfrac{{{\omega }^{2}}{{\Phi }^{2}}. R}{{{R}^{2}}+{{\omega }^{2}}{{L}^{2}}-\dfrac{2L}{C}+\dfrac{1}{{{\omega }^{2}}{{C}^{2}}}}=\dfrac{{{\Phi }^{2}}. R}{\dfrac{{{R}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}+{{L}^{2}}-\dfrac{2L}{{{\omega }^{2}}C}+\dfrac{1}{{{\omega }^{4}}{{C}^{2}}}}$ $\Rightarrow P=\dfrac{{{\Phi }^{2}}. R}{\dfrac{1}{{{\omega }^{4}}{{C}^{2}}}+\left({{R}^{2}}-\dfrac{2L}{C} \right)\dfrac{1}{{{\omega }^{2}}}+{{L}^{2}}}$
${{P}_{\max }}\Leftrightarrow {{\left[ \dfrac{1}{{{\omega }^{4}}{{C}^{2}}}+\left({{R}^{2}}-\dfrac{2L}{C} \right)\dfrac{1}{{{\omega }^{2}}}+{{L}^{2}} \right]}_{\min }}\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{\omega }^{2}}}=\dfrac{\dfrac{2L}{C}-{{R}^{2}}}{\dfrac{2}{{{C}^{2}}}}=\dfrac{2\dfrac{5}{3\pi }.\dfrac{6\pi }{{{5.10}^{-4}}}-{{\left(100\sqrt{2} \right)}^{2}}}{\dfrac{2}{{{\left(\dfrac{6\pi }{{{5.10}^{-4}}} \right)}^{2}}}}=\dfrac{1}{14400{{\pi }^{2}}}$ $\Rightarrow \omega =120\pi \Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{Z}_{L}}=\omega L=120\pi .\dfrac{5}{3\pi }=200\Omega \\
& {{Z}_{C}}=\dfrac{1}{\omega C}=\dfrac{1}{120\pi .\dfrac{{{5.10}^{-4}}}{6\pi }}=100\Omega \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{P}_{m{ax}}}=\dfrac{{{\omega }^{2}}{{\Phi }^{2}}R}{{{R}^{2}}+{{\left(200-100 \right)}^{2}}}=161,5\left(*\right)$
+ Khi tốc độ quay của roto là 2n (vòng/phút)
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{Z}_{L}}^{\prime }=2{{Z}_{L}}=400\Omega \\
& {{Z}_{C}}^{\prime }=\dfrac{{{Z}_{C}}}{2}=50\Omega \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {P}'=\dfrac{{{\omega }^{2}}{{\Phi }^{2}}R}{{{R}^{2}}+{{\left({{Z}_{L}}^{\prime }-{{Z}_{C}}^{\prime } \right)}^{2}}}=\dfrac{4{{\omega }^{2}}R}{{{R}^{2}}+{{\left(400-50 \right)}^{2}}}\left(**\right)$
Từ (*) và (**)
$\Rightarrow \dfrac{{{P}'}}{{{P}_{m{ax}}}}=\dfrac{{{\omega }^{\prime 2}}}{{{\omega }^{2}}}.\dfrac{{{R}^{2}}+{{\left(200-100 \right)}^{2}}}{{{R}^{2}}+{{\left(400-50 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{{{P}'}}{161,5}=4.\dfrac{{{\left(100\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{100}^{2}}}{{{\left(100\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{350}^{2}}}=\dfrac{16}{19}\Rightarrow {P}'=136W$
Đáp án A.