Google
Câu hỏi: Một sợi dây mảnh đàn hồi rất dài được căng ngang. Đầu O của sợi dây bắt đầu dao động tại thời điểm t= 0 theo phương trình ${{u}_{o}}=2\cos \left( \omega t-\dfrac{\pi }{2} \right)cm$ (trong đó t tính bằng s) tạo thành sóng hình sin lan truyền trên dây với bước sóng bằng 24 cm. Hai phần tử trên dây tại M và N có vị trí cân bằng cách O những đoạn $OM=12~\text{cm};ON=16~\text{cm}$. Kể từ t = 0 đến thời điểm mà ba phần tử trên dây tại O, M, N thẳng hàng lần thứ 4 thì khoảng cách giữa M và N là
A. 4,00 cm.
B. 4,47 cm.
C. 5,11 cm.
D. 4,08 cm.
A. 4,00 cm.
B. 4,47 cm.
C. 5,11 cm.
D. 4,08 cm.
Phương pháp:
Phương trình sóng cơ học: $u=a\cos \left( \omega t+\varphi -\dfrac{2\pi x}{\lambda } \right)$
Sử dụng máy tính bỏ túi để tổng hợp hai dao động điều hòa Ba điểm O, M, N thẳng hàng: $\overrightarrow{OM}=k\overrightarrow{MN}$
Cách giải:
Phương trình dao động của các điểm O, M, N là:
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{u}_{O}}=2\cos \left( \omega t-\dfrac{\pi }{2} \right)(\text{cm}) \\
{{u}_{M}}=2\cos \left( \omega t-\dfrac{\pi }{2}-\dfrac{2\pi .12}{24} \right)=2\cos \left( \omega t+\dfrac{\pi }{2} \right)(\text{cm}) \\
{{u}_{N}}=2\cos \left( \omega t-\dfrac{\pi }{2}-\dfrac{2\pi \cdot 16}{24} \right)=2\cos \left( \omega t+\dfrac{\pi }{6} \right)(\text{cm}) \\
\end{array} \right.$
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{u}_{M}}-{{u}_{O}}=4\cos \left( \omega t+\dfrac{\pi }{2} \right)(\text{cm}) \\
{{u}_{N}}-{{u}_{M}}=2\cos \left( \omega t-\dfrac{\pi }{6} \right)(\text{cm}) \\
\end{array} \right.$
Tọa độ các điểm O, M, N là: $O\left( 0;{{u}_{O}} \right);M\left( 12;{{u}_{M}} \right);N\left( 16;{{u}_{N}} \right)$
Ba điểm O, M, N thẳng hàng, ta có: $\overrightarrow{OM}=k\overrightarrow{MN}$
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\overrightarrow{OM}=\left( 12;{{u}_{M}}-{{u}_{O}} \right) \\
\overrightarrow{MN}=\left( 4;{{u}_{N}}-{{u}_{M}} \right) \\
\end{array}\Rightarrow \dfrac{12}{4}=\dfrac{{{u}_{M}}-{{u}_{O}}}{{{u}_{N}}-{{u}_{M}}}=3\Rightarrow {{u}_{M}}-{{u}_{O}}=3\left( {{u}_{N}}-{{u}_{M}} \right) \right.$
$\Rightarrow 4\cos \left( \omega t+\dfrac{\pi }{2} \right)=3.2\cos \left( \omega t-\dfrac{\pi }{6} \right)(1)$
Giải phương trình (1) ta có: $\omega t=ar\cos \dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{76}}+\dfrac{\pi }{2}+k\pi $
O, M, N thẳng hàng lần thứ 4, ta có:
$k=4\Rightarrow \omega t=ar\cos \dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{76}}+\dfrac{\pi }{2}+4\pi =ar\cos \dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{76}}+\dfrac{\pi }{2}$
$\Rightarrow {{u}_{N}}-{{u}_{M}}=2\cos \left( ar\cos \dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{76}}+\dfrac{\pi }{2}-\dfrac{\pi }{6} \right)\approx -0,795(~\text{cm})$
Khoảng cách giữa hai điểm M, N là:
$d=\sqrt{M{{N}^{2}}+{{\left( {{u}_{N}}-{{u}_{M}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{4}^{2}}+{{(-0,795)}^{2}}}\approx 4,08(~\text{cm})$
Phương trình sóng cơ học: $u=a\cos \left( \omega t+\varphi -\dfrac{2\pi x}{\lambda } \right)$
Sử dụng máy tính bỏ túi để tổng hợp hai dao động điều hòa Ba điểm O, M, N thẳng hàng: $\overrightarrow{OM}=k\overrightarrow{MN}$
Cách giải:
Phương trình dao động của các điểm O, M, N là:
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{u}_{O}}=2\cos \left( \omega t-\dfrac{\pi }{2} \right)(\text{cm}) \\
{{u}_{M}}=2\cos \left( \omega t-\dfrac{\pi }{2}-\dfrac{2\pi .12}{24} \right)=2\cos \left( \omega t+\dfrac{\pi }{2} \right)(\text{cm}) \\
{{u}_{N}}=2\cos \left( \omega t-\dfrac{\pi }{2}-\dfrac{2\pi \cdot 16}{24} \right)=2\cos \left( \omega t+\dfrac{\pi }{6} \right)(\text{cm}) \\
\end{array} \right.$
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{u}_{M}}-{{u}_{O}}=4\cos \left( \omega t+\dfrac{\pi }{2} \right)(\text{cm}) \\
{{u}_{N}}-{{u}_{M}}=2\cos \left( \omega t-\dfrac{\pi }{6} \right)(\text{cm}) \\
\end{array} \right.$
Tọa độ các điểm O, M, N là: $O\left( 0;{{u}_{O}} \right);M\left( 12;{{u}_{M}} \right);N\left( 16;{{u}_{N}} \right)$
Ba điểm O, M, N thẳng hàng, ta có: $\overrightarrow{OM}=k\overrightarrow{MN}$
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\overrightarrow{OM}=\left( 12;{{u}_{M}}-{{u}_{O}} \right) \\
\overrightarrow{MN}=\left( 4;{{u}_{N}}-{{u}_{M}} \right) \\
\end{array}\Rightarrow \dfrac{12}{4}=\dfrac{{{u}_{M}}-{{u}_{O}}}{{{u}_{N}}-{{u}_{M}}}=3\Rightarrow {{u}_{M}}-{{u}_{O}}=3\left( {{u}_{N}}-{{u}_{M}} \right) \right.$
$\Rightarrow 4\cos \left( \omega t+\dfrac{\pi }{2} \right)=3.2\cos \left( \omega t-\dfrac{\pi }{6} \right)(1)$
Giải phương trình (1) ta có: $\omega t=ar\cos \dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{76}}+\dfrac{\pi }{2}+k\pi $
O, M, N thẳng hàng lần thứ 4, ta có:
$k=4\Rightarrow \omega t=ar\cos \dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{76}}+\dfrac{\pi }{2}+4\pi =ar\cos \dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{76}}+\dfrac{\pi }{2}$
$\Rightarrow {{u}_{N}}-{{u}_{M}}=2\cos \left( ar\cos \dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{76}}+\dfrac{\pi }{2}-\dfrac{\pi }{6} \right)\approx -0,795(~\text{cm})$
Khoảng cách giữa hai điểm M, N là:
$d=\sqrt{M{{N}^{2}}+{{\left( {{u}_{N}}-{{u}_{M}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{4}^{2}}+{{(-0,795)}^{2}}}\approx 4,08(~\text{cm})$
Đáp án D.