Một mặt cầu tâm $O$ nằm trên mặt phẳng đáy của hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có tất cả các cạnh bằng nhau, các đỉnh $A,B,C$ thuộc mặt cầu. Biết...

Gọi $D$ là trung điểm của đoạn $AB,$ kẻ $OI\mathrm{\perp }SD,$ dễ dàng chứng minh được $OI\mathrm{\perp }\left(SAB\right).$
Suy ra $I$ là tâm đường tròn $\left(C\right)$ giao tuyến của mặt cầu tâm $O$ với mặt phẳng $\left(SAB\right).$ Gọi $M,N$ lần lượt là giao điểm của đường tròn $\left(C\right)$ với $SB,SA;K$ là trung điểm của $MB.$
Giả sử $AB=a,$ theo giả thiết ta suy ra $OC=1\iff {\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}=1\iff a=\sqrt{3}.$
Ta có $SD=CD={\displaystyle \frac{3}{2}},OD={\displaystyle \frac{1}{2}},SO=\sqrt{S{C}^2-O{C}^2}=\sqrt{2},OI={\displaystyle \frac{SO.OD}{SD}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}},$ $ID={\displaystyle \frac{O{D}^2}{SD}}={\displaystyle \frac{1}{6}},SI={\displaystyle \frac{4}{3}}.$
Gọi $r$ là bán kính đường tròn $\left(C\right),$ khi đó $r=\sqrt{1-O{I}^2}={\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{3}}.$
Ta có tam giác $SIK$ vuông tại $K$ và góc $\mathrm{\angle }ISK={30}^0$ suy ra $IK={\displaystyle \frac{1}{2}}IS={\displaystyle \frac{2}{3}}$
Xét tam giác $MIK$ có $\cos I={\displaystyle \frac{IK}{IM}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{7}}}\Rightarrow I\approx {28}^0\Rightarrow \mathrm{\angle }MIN\approx {64}^0$
Khi đó chiều dài cung $MN$ bằng ${\displaystyle \frac{64}{180}}.{\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{3}}={\displaystyle \frac{16\sqrt{7}}{135}}.$ Vậy tổng độ dài $l,$ các giao tuyến của mặt cầu với các mặt bên của hình chóp là $l={\displaystyle \frac{16\sqrt{7}}{45}}\approx 0,94.$