Google
Câu hỏi: Một mặt cầu tâm $O$ nằm trên mặt phẳng đáy của hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có tất cả các cạnh bằng nhau, các đỉnh $A,B,C$ thuộc mặt cầu. Biết bán kính mặt cầu là 1. Tính tổng độ dài $l,$ các giao tuyến của mặt cầu với các mặt bên của hình chóp thỏa mãn?
A. $l\in \left( 1;\sqrt{2} \right).$
B. $l\in \left( 2;3\sqrt{2} \right).$
C. $l\in \left( \sqrt{3};2 \right).$
D. $l\in \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2};1 \right).$
Gọi $D$ là trung điểm của đoạn $AB,$ kẻ $OI\bot SD,$ dễ dàng chứng minh được $OI\bot \left( SAB \right).$
Suy ra $I$ là tâm đường tròn $\left( C \right)$ giao tuyến của mặt cầu tâm $O$ với mặt phẳng $\left( SAB \right).$ Gọi $M,N$ lần lượt là giao điểm của đường tròn $\left( C \right)$ với $SB,SA;K$ là trung điểm của $MB.$
Giả sử $AB=a,$ theo giả thiết ta suy ra $OC=1\Leftrightarrow \dfrac{a\sqrt{3}}{2}=1\Leftrightarrow a=\sqrt{3}.$
Ta có $SD=CD=\dfrac{3}{2},OD=\dfrac{1}{2},SO=\sqrt{S{{C}^{2}}-O{{C}^{2}}}=\sqrt{2},OI=\dfrac{SO.OD}{SD}=\dfrac{\sqrt{2}}{3},$ $ID=\dfrac{O{{D}^{2}}}{SD}=\dfrac{1}{6},SI=\dfrac{4}{3}.$
Gọi $r$ là bán kính đường tròn $\left( C \right),$ khi đó $r=\sqrt{1-O{{I}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{7}}{3}.$
Ta có tam giác $SIK$ vuông tại $K$ và góc $\angle ISK={{30}^{0}}$ suy ra $IK=\dfrac{1}{2}IS=\dfrac{2}{3}$
Xét tam giác $MIK$ có $\cos I=\dfrac{IK}{IM}=\dfrac{2}{\sqrt{7}}\Rightarrow I\approx {{28}^{0}}\Rightarrow \angle MIN\approx {{64}^{0}}$
Khi đó chiều dài cung $MN$ bằng $\dfrac{64}{180}.\dfrac{\sqrt{7}}{3}=\dfrac{16\sqrt{7}}{135}.$ Vậy tổng độ dài $l,$ các giao tuyến của mặt cầu với các mặt bên của hình chóp là $l=\dfrac{16\sqrt{7}}{45}\approx 0,94.$
A. $l\in \left( 1;\sqrt{2} \right).$
B. $l\in \left( 2;3\sqrt{2} \right).$
C. $l\in \left( \sqrt{3};2 \right).$
D. $l\in \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2};1 \right).$
Gọi $D$ là trung điểm của đoạn $AB,$ kẻ $OI\bot SD,$ dễ dàng chứng minh được $OI\bot \left( SAB \right).$
Suy ra $I$ là tâm đường tròn $\left( C \right)$ giao tuyến của mặt cầu tâm $O$ với mặt phẳng $\left( SAB \right).$ Gọi $M,N$ lần lượt là giao điểm của đường tròn $\left( C \right)$ với $SB,SA;K$ là trung điểm của $MB.$
Giả sử $AB=a,$ theo giả thiết ta suy ra $OC=1\Leftrightarrow \dfrac{a\sqrt{3}}{2}=1\Leftrightarrow a=\sqrt{3}.$
Ta có $SD=CD=\dfrac{3}{2},OD=\dfrac{1}{2},SO=\sqrt{S{{C}^{2}}-O{{C}^{2}}}=\sqrt{2},OI=\dfrac{SO.OD}{SD}=\dfrac{\sqrt{2}}{3},$ $ID=\dfrac{O{{D}^{2}}}{SD}=\dfrac{1}{6},SI=\dfrac{4}{3}.$
Gọi $r$ là bán kính đường tròn $\left( C \right),$ khi đó $r=\sqrt{1-O{{I}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{7}}{3}.$
Ta có tam giác $SIK$ vuông tại $K$ và góc $\angle ISK={{30}^{0}}$ suy ra $IK=\dfrac{1}{2}IS=\dfrac{2}{3}$
Xét tam giác $MIK$ có $\cos I=\dfrac{IK}{IM}=\dfrac{2}{\sqrt{7}}\Rightarrow I\approx {{28}^{0}}\Rightarrow \angle MIN\approx {{64}^{0}}$
Khi đó chiều dài cung $MN$ bằng $\dfrac{64}{180}.\dfrac{\sqrt{7}}{3}=\dfrac{16\sqrt{7}}{135}.$ Vậy tổng độ dài $l,$ các giao tuyến của mặt cầu với các mặt bên của hình chóp là $l=\dfrac{16\sqrt{7}}{45}\approx 0,94.$
Đáp án D.