Google
Câu hỏi: Một hộp có chứa $3$ viên bi đỏ, $2$ viên bi xanh và $n$ bi vàng (các viên bi kích thước như nhau và $n$ là số nguyên dương). Lấy ngẫu nhiên $3$ viên bi từ hộp. Biết xác suất để trong $3$ viên bi lấy được có đủ ba màu là $\dfrac{9}{28}$. Xác suất để trong $3$ viên bi lấy được có ít nhất một viên bi xanh bằng
A. $\dfrac{5}{14}$.
B. $\dfrac{25}{26}$.
C. $\dfrac{9}{14}$.
D. $\dfrac{31}{56}$.
A. $\dfrac{5}{14}$.
B. $\dfrac{25}{26}$.
C. $\dfrac{9}{14}$.
D. $\dfrac{31}{56}$.
Ta có số phần tử của không gian mẫu là số cách lấy ngẫu nhiên $3$ viên bi từ hộp: $n\left( \Omega \right)=C_{n+5}^{3}$
Gọi biến cố A: "Lấy được đủ ba màu", ta có $n\left( A \right)=C_{3}^{1}.C_{2}^{1}.C_{n}^{1}=6n$.
Theo bài ra ta có: $P\left( A \right)=\dfrac{n\left( A \right)}{n\left( \Omega \right)}=\dfrac{6n}{C_{n+5}^{3}}=\dfrac{9}{28}$.
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \dfrac{6n.3!.\left( n+2 \right)!}{\left( n+5 \right)!}=\dfrac{9}{28} \\
& \Leftrightarrow \dfrac{4n}{\left( n+3 \right)\left( n+4 \right)\left( n+5 \right)}=\dfrac{1}{28} \\
& \Leftrightarrow {{n}^{3}}+12{{n}^{2}}-47n+60=0\Rightarrow n=3 \\
\end{aligned}$.
Gọi biến cố B: "Lấy được ít nhất một viên xanh", ta có $n\left( B \right)=C_{8}^{3}-C_{6}^{3}=36$.
Suy ra: $P\left( B \right)=\dfrac{n\left( B \right)}{n\left( \Omega \right)}=\dfrac{9}{14}$.
Gọi biến cố A: "Lấy được đủ ba màu", ta có $n\left( A \right)=C_{3}^{1}.C_{2}^{1}.C_{n}^{1}=6n$.
Theo bài ra ta có: $P\left( A \right)=\dfrac{n\left( A \right)}{n\left( \Omega \right)}=\dfrac{6n}{C_{n+5}^{3}}=\dfrac{9}{28}$.
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \dfrac{6n.3!.\left( n+2 \right)!}{\left( n+5 \right)!}=\dfrac{9}{28} \\
& \Leftrightarrow \dfrac{4n}{\left( n+3 \right)\left( n+4 \right)\left( n+5 \right)}=\dfrac{1}{28} \\
& \Leftrightarrow {{n}^{3}}+12{{n}^{2}}-47n+60=0\Rightarrow n=3 \\
\end{aligned}$.
Gọi biến cố B: "Lấy được ít nhất một viên xanh", ta có $n\left( B \right)=C_{8}^{3}-C_{6}^{3}=36$.
Suy ra: $P\left( B \right)=\dfrac{n\left( B \right)}{n\left( \Omega \right)}=\dfrac{9}{14}$.
Đáp án C.