Lý thuyết hàm số lũy thừa

Câu hỏi: 1. Khái niệm hàm số lũy thừa
Hàm số lũy thừa là các hàm số dạng . Các hàm số lũy thừa có tập xác định khác nhau, tùy theo :
- Nếu nguyên dương thì tập các định là .
- Nếu nguyên âm hoặc thì tập các định là .
- Nếu không nguyên thì tập các định là .
Chú ý: Hàm số có tập xác định là , hàm số có tập xác định , trong khi đó các hàm đều có tập xác định . Vì vậy và ( hay và ) là những hàm số khác nhau.
2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ tổng quát
- Hàm số có đạo hàm tai mọi và
- Nếu hàm số nhận giá trị dương và có đạo hàm trong khoảng thì hàm số cũng có đạo hàm trên và
3. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ nguyên dương
Trong trường hợp số mũ nguyên dương, hàm số lũy thừa có tập xác định là và có đạo hàm trên toàn trục số. Công thức tính đạo hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành và nếu có đạo hàm trong khoảng .
4. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ nguyên âm
Nếu số mũ là số nguyên âm thì hàm số lũy thừa có tập xác định là và có đạo hàm tại mọi khác , công thức đạo hàm hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành và
nếu có đạo hàm trong khoảng .
5. Đạo hàm của căn thức
Hàm số có thể xem là mở rộng của hàm lũy thừa (tập xác định của chứa tập xác định của và trên tập xác định của thì hai hàm số trùng nhau).
Khi lẻ thì hàm số có tập xác định . Trên khoảng ta có và , do đó .
Công thức này còn đúng cả với và hàm số không có đạo hàm tại .
Khi chẵn hàm có tập xác định là , không có đạo hàm tại và có đạo hàm tại mọi tính theo công thức:

Tóm lại, ta có đúng với mọi làm cho hai vế có nghĩa.
Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp ta suy ra: Nếu là hàm có đạo hàm trên khoảng và thỏa mãn điều kiện khi chẵn, khi lẻ thì

6. Đồ thị hàm số trên khoảng

Chú ý: Khi khảo sát hàm số với cụ thể, cần xét hàm số trên toàn tập xác định của nó (chứ không phải chỉ xét trên khoảng như trên).