Lập các số tự nhiên có 7 chữ số từ các chữ số 1,2,3,4. Tính xác suất để số lập được thỏa mãn: các chữ số 1,2,3 có mặt hai lần, chữ số 4 có mặt 1...

Gọi số có 7 chữ số được tạo ra từ các chữ số 1,2,3,4 là $\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}}.$
Số phần tử của không gian mẫu: $n\left( \Omega \right)=4.4.4.4.4.4.4={{2}^{14}}.$
Gọi $A$ là biến cố: "Số lập được có 7 chữ số thỏa mãn: các chữ số 1,2,3 có mặt hai lần, chữ số 4 có mặt một lần đồng thời các chữ số lẻ đều nằm ở các vị trí lẻ (tính từ trái sang phải)".
Giả sử số có 7 chữ số thỏa mãn bài toán được đặt vào các vị trí từ trái sang phải được đánh số vị trí như hình vẽ.

Bước 1. Xếp các số lẻ vào các vị trí lẻ:
Các vị trí 1,3,5,7 gồm các chữ số lẻ: 1,3 (mỗi chữ số ở hai trong 4 vị trí lẻ).
Xét chữ số 1 được đặt vào 2 trong 4 vị trí lẻ có cách $C_{4}^{2}$ xếp, hai chữ số 3 xếp vào hai vị trí lẻ còn lại có 1 cách xếp.
Bước 2: Xếp các số chữ số chẵn vào các vị trí chẵn.
Các vị trí chẵn 2,4,6 xếp vào đó hai chữ số 2 và một chữ số 4
Xếp hai chữ số 2 vào 2 trong 3 vị trí chẵn có $C_{4}^{2}$ cách xếp, còn lại 1 vị trí chẵn xếp cho chữ số 4 có 1 cách xếp.
Do đó số phần tử của biến cố $A$ là: $n\left( A \right)=C_{4}^{2}.C_{4}^{2}=18$
$P\left( A \right)=\dfrac{n\left( A \right)}{n\left( \Omega \right)}=\dfrac{18}{{{2}^{14}}}=\dfrac{9}{8192}$