Google
Câu hỏi: Hai dao động điều hòa thành phần cùng phương, có phương trình ${{x}_{1}}={{A}_{1}}\cos \left(\omega t+\dfrac{\pi }{3}\right)\left(cm\right)$, ${{x}_{2}}={{A}_{2}}\cos \left(\omega t-\dfrac{\pi }{4}\right)\left(cm\right)$. Biết phương trình dao động tổng hợp là $x=5\cos \left(\omega t+\varphi \right)\left(cm\right)$. Để (A1 +A2) có giá trị cực đại thì φ có giá trị là
A. $\dfrac{\pi }{12}$
B. $\dfrac{5\pi }{12}$
C. $\dfrac{\pi }{24}$
D. $\dfrac{\pi }{6}$
A. $\dfrac{\pi }{12}$
B. $\dfrac{5\pi }{12}$
C. $\dfrac{\pi }{24}$
D. $\dfrac{\pi }{6}$
Áp dụng công thức Freshnel về tổng hợp dao động ta có:
${{A}^{2}}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2.{{A}_{1}}{{A}_{2}}.\cos \Delta \varphi $
${{A}^{2}}={{\left({{A}_{1}}+{{A}_{2}}\right)}^{2}}-2{{A}_{1}}{{A}_{2}}+2.{{A}_{1}}{{A}_{2}}.\cos \Delta \varphi $
${{A}^{2}}={{\left({{A}_{1}}+{{A}_{2}}\right)}^{2}}+2.{{A}_{1}}{{A}_{2}}\left(\cos \Delta \varphi -1\right)*$
Theo bất đẳng thức Cosi ta có: ${{A}_{1}}+{{A}_{2}}\ge 2\sqrt{{{A}_{1}}{{A}_{2}}}\Leftrightarrow {{\left({{A}_{1}}+{{A}_{2}}\right)}^{2}}\ge 4{{A}_{1}}{{A}_{2}}$
$\Rightarrow {{A}_{1}}{{A}_{2}}\le \dfrac{{{\left({{A}_{1}}+{{A}_{2}}\right)}^{2}}}{4}$
Thay vào biểu thức *, chú ý rằng biểu thức $\cos \Delta \varphi -1\le 1$
$\Rightarrow *\Leftrightarrow {{A}^{2}}\ge {{\left({{A}_{1}}+{{A}_{2}}\right)}^{2}}-2\left(1-\cos \Delta \varphi \right).\dfrac{{{\left({{A}_{1}}+{{A}_{2}}\right)}^{2}}}{4}$
${{A}^{2}}\ge \dfrac{1}{2}{{\left({{A}_{1}}+{{A}_{2}}\right)}^{2}}.\left(\cos \Delta \varphi +1\right)$ $\Rightarrow {{\left({{A}_{1}}+{{A}_{2}}\right)}^{2}}\le \dfrac{2.{{A}^{2}}}{\left(\cos \Delta \varphi +1\right)}$
Vậy giá trị cực đại của ${{A}_{1}}+{{A}_{2}}=\dfrac{\sqrt{2}.A}{\sqrt{1+\cos \Delta \varphi }}$
Khi đó ta có : $\tan \varphi =\dfrac{\sin {{\varphi }_{1}}+\sin {{\varphi }_{2}}}{\cos {{\varphi }_{1}}+\cos {{\varphi }_{2}}}=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\Rightarrow \varphi =\dfrac{\pi }{24}$
${{A}^{2}}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2.{{A}_{1}}{{A}_{2}}.\cos \Delta \varphi $
${{A}^{2}}={{\left({{A}_{1}}+{{A}_{2}}\right)}^{2}}-2{{A}_{1}}{{A}_{2}}+2.{{A}_{1}}{{A}_{2}}.\cos \Delta \varphi $
${{A}^{2}}={{\left({{A}_{1}}+{{A}_{2}}\right)}^{2}}+2.{{A}_{1}}{{A}_{2}}\left(\cos \Delta \varphi -1\right)*$
Theo bất đẳng thức Cosi ta có: ${{A}_{1}}+{{A}_{2}}\ge 2\sqrt{{{A}_{1}}{{A}_{2}}}\Leftrightarrow {{\left({{A}_{1}}+{{A}_{2}}\right)}^{2}}\ge 4{{A}_{1}}{{A}_{2}}$
$\Rightarrow {{A}_{1}}{{A}_{2}}\le \dfrac{{{\left({{A}_{1}}+{{A}_{2}}\right)}^{2}}}{4}$
Thay vào biểu thức *, chú ý rằng biểu thức $\cos \Delta \varphi -1\le 1$
$\Rightarrow *\Leftrightarrow {{A}^{2}}\ge {{\left({{A}_{1}}+{{A}_{2}}\right)}^{2}}-2\left(1-\cos \Delta \varphi \right).\dfrac{{{\left({{A}_{1}}+{{A}_{2}}\right)}^{2}}}{4}$
${{A}^{2}}\ge \dfrac{1}{2}{{\left({{A}_{1}}+{{A}_{2}}\right)}^{2}}.\left(\cos \Delta \varphi +1\right)$ $\Rightarrow {{\left({{A}_{1}}+{{A}_{2}}\right)}^{2}}\le \dfrac{2.{{A}^{2}}}{\left(\cos \Delta \varphi +1\right)}$
Vậy giá trị cực đại của ${{A}_{1}}+{{A}_{2}}=\dfrac{\sqrt{2}.A}{\sqrt{1+\cos \Delta \varphi }}$
Khi đó ta có : $\tan \varphi =\dfrac{\sin {{\varphi }_{1}}+\sin {{\varphi }_{2}}}{\cos {{\varphi }_{1}}+\cos {{\varphi }_{2}}}=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\Rightarrow \varphi =\dfrac{\pi }{24}$
Đáp án C.