Google
Câu hỏi: Hai chất điểm M và N có cùng khối lượng, dao dộng điều hòa cùng tần số dọc theo hai đường thẳng song song với trục Ox. Vị trí cân bằng của M và N đều ở trên một đường thẳng vuông góc với Ox và qua gốc tọa độ. Biên độ của M là 6cm, của N là 8cm. Trong quá trình dao động, khoảng cách lớn nhất giữa M và N là 10cm. Mốc thế năng tại vị trí cân bằng. Ở thời điểm mà M có động năng bằng 3 lần thế năng, tỉ số động năng của M và động năng của N là:
A. $\dfrac{16}{27}$
B. $\dfrac{9}{16}$
C. $\dfrac{27}{16}$
D. $\dfrac{16}{9}$
A. $\dfrac{16}{27}$
B. $\dfrac{9}{16}$
C. $\dfrac{27}{16}$
D. $\dfrac{16}{9}$
Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số nên có thể vẽ trên cùng một giản đồ vecto, mặt khác khoảng cách lớn nhất theo phương Ox của là 10 cm
Dễ thấy $A_{1}^{2}+A_{2}^{2}={{6}^{2}}+{{8}^{2}}={{10}^{2}}$. Tức là góc tạo bởi vecto x1 và x2 là 900.
Ở thời điểm mà M có động năng bằng 3 lần thế năng thì:
${{{W}}_{dM}}=3{{W}_{tM}}=\dfrac{3}{4}{W}=\dfrac{3}{4}.\dfrac{1}{2}.k.A_{1}^{2}$
${{{W}}_{{{t}_{M}}}}=\dfrac{1}{4}{{{W}}_{M}}\Rightarrow \dfrac{1}{2}k.x_{1}^{2}=\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{2}.k.A_{1}^{2}\Rightarrow {{x}_{1}}=\pm \dfrac{1}{2}{{A}_{1}}$
Khi đó vecto OM hợp với trục Ox một góc $\alpha ;\cos \alpha =\dfrac{1}{2}\Rightarrow \alpha ={{60}^{0}}$
Vậy vecto ON hợp với trục Ox một góc $\beta =\alpha +{{90}^{0}}={{150}^{0}}$
$\Rightarrow {{x}_{2}}={{A}_{2}}.\cos {{150}^{0}}=\dfrac{-\sqrt{3}}{2}.{{A}_{2}}$
Khi đó động năng của N bằng:
${{{W}}_{dN}}={{{W}}_{N}}-{{{W}}_{tN}}=\dfrac{1}{2}.k.A_{2}^{2}-\dfrac{1}{2}.k.x_{2}^{2}=\dfrac{1}{2}.k.A_{2}^{2}-\dfrac{1}{2}.k.{{\left( \dfrac{-\sqrt{3}{{A}_{2}}}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{2}.k.A_{2}^{2}$
Lập tỉ số động năng của M và N ta được: $\dfrac{{{{W}}_{dM}}}{{{{W}}_{dN}}}=\dfrac{\dfrac{3}{4}.\dfrac{1}{2}.k.A_{1}^{2}}{\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{2}.k.A_{2}^{2}}=3.\dfrac{A_{1}^{2}}{A_{2}^{2}}=3.\dfrac{{{6}^{2}}}{{{8}^{2}}}=\dfrac{27}{16}$
Dễ thấy $A_{1}^{2}+A_{2}^{2}={{6}^{2}}+{{8}^{2}}={{10}^{2}}$. Tức là góc tạo bởi vecto x1 và x2 là 900.
Ở thời điểm mà M có động năng bằng 3 lần thế năng thì:
${{{W}}_{dM}}=3{{W}_{tM}}=\dfrac{3}{4}{W}=\dfrac{3}{4}.\dfrac{1}{2}.k.A_{1}^{2}$
${{{W}}_{{{t}_{M}}}}=\dfrac{1}{4}{{{W}}_{M}}\Rightarrow \dfrac{1}{2}k.x_{1}^{2}=\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{2}.k.A_{1}^{2}\Rightarrow {{x}_{1}}=\pm \dfrac{1}{2}{{A}_{1}}$
Khi đó vecto OM hợp với trục Ox một góc $\alpha ;\cos \alpha =\dfrac{1}{2}\Rightarrow \alpha ={{60}^{0}}$
Vậy vecto ON hợp với trục Ox một góc $\beta =\alpha +{{90}^{0}}={{150}^{0}}$
$\Rightarrow {{x}_{2}}={{A}_{2}}.\cos {{150}^{0}}=\dfrac{-\sqrt{3}}{2}.{{A}_{2}}$
Khi đó động năng của N bằng:
${{{W}}_{dN}}={{{W}}_{N}}-{{{W}}_{tN}}=\dfrac{1}{2}.k.A_{2}^{2}-\dfrac{1}{2}.k.x_{2}^{2}=\dfrac{1}{2}.k.A_{2}^{2}-\dfrac{1}{2}.k.{{\left( \dfrac{-\sqrt{3}{{A}_{2}}}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{2}.k.A_{2}^{2}$
Lập tỉ số động năng của M và N ta được: $\dfrac{{{{W}}_{dM}}}{{{{W}}_{dN}}}=\dfrac{\dfrac{3}{4}.\dfrac{1}{2}.k.A_{1}^{2}}{\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{2}.k.A_{2}^{2}}=3.\dfrac{A_{1}^{2}}{A_{2}^{2}}=3.\dfrac{{{6}^{2}}}{{{8}^{2}}}=\dfrac{27}{16}$
Đáp án C.