Gọi $S$ là tập hợp các số tự nhiên $n$ có $4$ chữ số thỏa mãn...

The Collectors · 14/3/22

Câu hỏi: Gọi

S

là tập hợp các số tự nhiên

n

có

4

chữ số thỏa mãn

{(2^{n} + 3^{n})}^{2020} < {(2^{2020} + 3^{2020})}^{n}

. Số phần tử của

S

là
A.

8999

.
B.

2019

.
C.

1010

.
D.

7979

.

{(2^{n} + 3^{n})}^{2020} < {(2^{2020} + 3^{2020})}^{n} \Leftrightarrow 2020 \ln (2^{n} + 3^{n}) < n \ln (2^{2020} + 3^{2020})

. (lấy

\ln

hai vế)

\Leftrightarrow f (n) = 2020 \ln (2^{n} + 3^{n}) - n \ln (2^{2020} + 3^{2020}) < 0 (*)

.
Khảo sát hàm số

y = f (n)

, có

\begin{aligned} f^{'} (n) = \frac{2020}{2^{n} + 3^{n}} (2^{n} \ln 2 + 3^{n} \ln 3) - \ln (2^{2020} + 3^{2020}) \\ \begin{array}{c}  \end{array} = \frac{2^{n} (2020 \ln 2 - \ln (2^{2020} + 3^{2020})) + 3^{n} (2020 \ln 3 - \ln (2^{2020} + 3^{2020}))}{2^{n} + 3^{n}} \\ \begin{array}{c}  \end{array} = \frac{2^{n} \ln \frac{2^{2020}}{2^{2020} + 3^{2020}} + 3^{n} \ln \frac{3^{2020}}{2^{2020} + 3^{2020}}}{2^{n} + 3^{n}} = \frac{2^{n} \ln 3^{- 2020} + 3^{n} \ln 2^{- 2020}}{2^{n} + 3^{n}} \\ \begin{array}{c}  \end{array} = \frac{- 2020 \ln {3.2}^{n} - 2020 \ln {2.3}^{n}}{2^{n} + 3^{n}} < 0, \forall n \in N . \end{aligned}

Suy ra,

f (n)

là hàm nghịch biến.
Ta có

f (2020) = 0

. Khi đó

(*) \Leftrightarrow f (n) < f (2020) \Leftrightarrow n < 2020

mà

n \geq 1000, n \in N \Rightarrow 1000 \leq n < 2020

.
Vậy có

1010

số tự nhiên

n

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án C.

Gọi S là tập hợp các số tự nhiên n có 4 chữ số thỏa mãn...