Gọi $S$ là tập hợp các số tự nhiên $n$ có $4$ chữ số thỏa mãn...

${{\left( {{2}^{n}}+{{3}^{n}} \right)}^{2020}}<{{\left( {{2}^{2020}}+{{3}^{2020}} \right)}^{n}}\Leftrightarrow 2020\ln \left( {{2}^{n}}+{{3}^{n}} \right)<n\ln \left( {{2}^{2020}}+{{3}^{2020}} \right)$. (lấy $\ln $ hai vế)
$\Leftrightarrow f\left( n \right)=2020\ln \left( {{2}^{n}}+{{3}^{n}} \right)-n\ln \left( {{2}^{2020}}+{{3}^{2020}} \right)<0 \left( * \right)$.
Khảo sát hàm số $y=f\left( n \right)$, có $\begin{aligned}
& {f}'\left( n \right)=\dfrac{2020}{{{2}^{n}}+{{3}^{n}}}\left( {{2}^{n}}\ln 2+{{3}^{n}}\ln 3 \right)-\ln \left( {{2}^{2020}}+{{3}^{2020}} \right) \\
& \begin{matrix}
{} & {} \\
\end{matrix}=\dfrac{{{2}^{n}}\left( 2020\ln 2-\ln \left( {{2}^{2020}}+{{3}^{2020}} \right) \right)+{{3}^{n}}\left( 2020\ln 3-\ln \left( {{2}^{2020}}+{{3}^{2020}} \right) \right)}{{{2}^{n}}+{{3}^{n}}} \\
& \begin{matrix}
{} & {} \\
\end{matrix}=\dfrac{{{2}^{n}}\ln \dfrac{{{2}^{2020}}}{{{2}^{2020}}+{{3}^{2020}}}+{{3}^{n}}\ln \dfrac{{{3}^{2020}}}{{{2}^{2020}}+{{3}^{2020}}}}{{{2}^{n}}+{{3}^{n}}}=\dfrac{{{2}^{n}}\ln {{3}^{-2020}}+{{3}^{n}}\ln {{2}^{-2020}}}{{{2}^{n}}+{{3}^{n}}} \\
& \begin{matrix}
{} & {} \\
\end{matrix}=\dfrac{-2020\ln {{3.2}^{n}}-2020\ln {{2.3}^{n}}}{{{2}^{n}}+{{3}^{n}}}<0, \forall n\in \mathbb{N}. \\
\end{aligned}$
Suy ra, $f\left( n \right)$ là hàm nghịch biến.
Ta có $f\left( 2020 \right)=0$. Khi đó $\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( n \right)<f\left( 2020 \right)\Leftrightarrow n<2020$
mà $n\ge 1000, n\in \mathbb{N}\Rightarrow 1000\le n<2020$.
Vậy có $1010$ số tự nhiên $n$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.