Google
Câu hỏi: Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên dương của $m$ để hàm số $y={{x}^{3}}-3\left( 2m+1 \right){{x}^{2}}+\left( 12m+5 \right)x+2$ đồng biến trên khoảng $\left( 2;+\infty \right).$ Số phần tử của $S$ bằng
A. 2.
B. 3.
C. 0.
D. 1.
A. 2.
B. 3.
C. 0.
D. 1.
Tập xác định $D=\mathbb{R}$
$y'=3{{x}^{2}}-6\left( 2m+1 \right)x+12m+5$
Hàm số đồng biến trong khoảng $\left( 2;+\infty \right)$ khi $y'\ge 0,\forall x\in \left( 2;+\infty \right).$
$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6\left( 2m+1 \right)x+12m+5\ge 0\forall x\in \left( 2;+\infty \right).$
$3{{x}^{2}}-6\left( 2m+1 \right)x+12m+5\ge 0\Leftrightarrow m\le \dfrac{3{{x}^{2}}-6x+5}{12\left( x-1 \right)},\forall x\in \left( 2;+\infty \right)$
Xét hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{3{{x}^{2}}-6x+5}{12\left( x-1 \right)},\forall x\in \left( 2;+\infty \right).$
$g'\left( x \right)=\dfrac{3{{x}^{2}}-6x+1}{12{{\left( x-1 \right)}^{2}}}>0,\forall x\in \left( 2;+\infty \right)\Rightarrow $ Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trong khoảng $\left( 2;+\infty \right).$
Do đó: $m\le g\left( x \right),\forall x\in \left( 2;+\infty \right)\Rightarrow m\le g\left( 2 \right)\Leftrightarrow m\le \dfrac{5}{12}.$
Vì $0<m\le \dfrac{5}{12}.$ Do đó không có giá trị nguyên dương nào của $m$ thỏa mãn bài toán.
$y'=3{{x}^{2}}-6\left( 2m+1 \right)x+12m+5$
Hàm số đồng biến trong khoảng $\left( 2;+\infty \right)$ khi $y'\ge 0,\forall x\in \left( 2;+\infty \right).$
$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6\left( 2m+1 \right)x+12m+5\ge 0\forall x\in \left( 2;+\infty \right).$
$3{{x}^{2}}-6\left( 2m+1 \right)x+12m+5\ge 0\Leftrightarrow m\le \dfrac{3{{x}^{2}}-6x+5}{12\left( x-1 \right)},\forall x\in \left( 2;+\infty \right)$
Xét hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{3{{x}^{2}}-6x+5}{12\left( x-1 \right)},\forall x\in \left( 2;+\infty \right).$
$g'\left( x \right)=\dfrac{3{{x}^{2}}-6x+1}{12{{\left( x-1 \right)}^{2}}}>0,\forall x\in \left( 2;+\infty \right)\Rightarrow $ Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trong khoảng $\left( 2;+\infty \right).$
Do đó: $m\le g\left( x \right),\forall x\in \left( 2;+\infty \right)\Rightarrow m\le g\left( 2 \right)\Leftrightarrow m\le \dfrac{5}{12}.$
Vì $0<m\le \dfrac{5}{12}.$ Do đó không có giá trị nguyên dương nào của $m$ thỏa mãn bài toán.
Đáp án C.