Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số $y=x^3-3(2m+1)x^2+(12m+5)x+2$ đồng biến trên...

Phương pháp giải:
Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên $(a;b)\iff f^{\prime }\left(x\right)\ge 0\mathrm{\forall }x\in (a;b).$
Giải chi tiết:
Xét hàm số: $y=x^3-3(2m+1)x^2+(12m+5)+2$
$\Rightarrow y^{\prime }=3x^2-6(2m+1)x+12m+5$
$\Rightarrow y^{\prime }=0\iff 3x^2-6(2m+1)x+12m+5=0(\ast )$
TH1: Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}$
$\iff y^{\prime }\ge 0\mathrm{\forall }x\iff {\mathrm{\Delta }}^{\prime }\le 0$
$\iff 9{(2m+1)}^2-3(12m+5)\le 0$
$\iff 9(4m^2+4m+1)-36m-15\le 0$
$\iff 36m^2-6\le 0\iff m^2\le {\displaystyle \frac{1}{6}}\iff -{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}}\le m\le {\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}}$
TH2: Hàm số đã cho đồng biến trên $(2;+\mathrm{\infty })$
$\iff (\ast )$ có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $2\le x_1<x_2$
$\iff \{\begin{array}{l}{\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0\\ (x_1-2)(x_1-2)\ge 0\\ x_1+x_2>4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}36m^2-6>0\\ x_1{x}_2-2(x_1+x_2)+4\ge 0\\ x_1+x_2>4\end{array}$
$\iff \{\begin{array}{l}{m}^2>{\displaystyle \frac{1}{6}}\\ {\displaystyle \frac{12m+5}{3}}-2.{\displaystyle \frac{6(2m+1)}{3}}+4\ge 0\\ {\displaystyle \frac{6(2m+1)}{3}}>4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}[\begin{array}{c}m>{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}}\\ m<-{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}}\end{array}\\ 12m+5-24m-2+12\ge 0\\ 4m+2>4\end{array}$
$\iff \{\begin{array}{l}[\begin{array}{c}m>{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}}\\ m<-{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}}\end{array}\\ -12m\ge -15\\ m>{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}[\begin{array}{c}m>{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}}\\ m<-{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}}\end{array}\\ m\le {\displaystyle \frac{5}{4}}\\ m>{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\iff {\displaystyle \frac{1}{2}}<m\le {\displaystyle \frac{5}{4}}$
Kết hợp hai trường hợp ta được: $[\begin{array}{l}-{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}}\le m\le {\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}<m\le {\displaystyle \frac{5}{4}}\end{array}$
Lại có: $m\in {\mathbb{Z}}^{+}\Rightarrow m=1.$
Vậy có 1 giá trị m thỏa mãn bài toán.