Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số $y={{x}^{3}}-3\left( 2m+1 \right){{x}^{2}}+\left( 12m+5 \right)x+2$ đồng biến trên...

Phương pháp giải:
Hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( a;\ b \right)\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)\ge 0\ \ \forall x\in \left( a;\ b \right).$
Giải chi tiết:
Xét hàm số: $y={{x}^{3}}-3\left( 2m+1 \right){{x}^{2}}+\left( 12m+5 \right)+2$
$\Rightarrow {y}'=3{{x}^{2}}-6\left( 2m+1 \right)x+12m+5$
$\Rightarrow {y}'=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6\left( 2m+1 \right)x+12m+5=0\left( * \right)$
TH1: Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}$
$\Leftrightarrow {y}'\ge 0\forall x\Leftrightarrow {\Delta }'\le 0$
$\Leftrightarrow 9{{\left( 2m+1 \right)}^{2}}-3\left( 12m+5 \right)\le 0$
$\Leftrightarrow 9\left( 4{{m}^{2}}+4m+1 \right)-36m-15\le 0$
$\Leftrightarrow 36{{m}^{2}}-6\le 0\Leftrightarrow {{m}^{2}}\le \dfrac{1}{6}\Leftrightarrow -\dfrac{\sqrt{6}}{6}\le m\le \dfrac{\sqrt{6}}{6}$
TH2: Hàm số đã cho đồng biến trên $\left( 2;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow \left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn $2\le {{x}_{1}}<{{x}_{2}}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{\Delta }'>0 \\
\left( {{x}_{1}}-2 \right)\left( {{x}_{1}}-2 \right)\ge 0 \\
{{x}_{1}}+{{x}_{2}}>4 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
36{{m}^{2}}-6>0 \\
{{x}_{1}}{{x}_{2}}-2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+4\ge 0 \\
{{x}_{1}}+{{x}_{2}}>4 \\
\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{m}^{2}}>\dfrac{1}{6} \\
\dfrac{12m+5}{3}-2.\dfrac{6\left( 2m+1 \right)}{3}+4\ge 0 \\
\dfrac{6\left( 2m+1 \right)}{3}>4 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\left[ \begin{array}{*{35}{l}}
m>\dfrac{\sqrt{6}}{6} \\
m<-\dfrac{\sqrt{6}}{6} \\
\end{array} \right. \\
12m+5-24m-2+12\ge 0 \\
4m+2>4 \\
\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\left[ \begin{array}{*{35}{l}}
m>\dfrac{\sqrt{6}}{6} \\
m<-\dfrac{\sqrt{6}}{6} \\
\end{array} \right. \\
-12m\ge -15 \\
m>\dfrac{1}{2} \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\left[ \begin{array}{*{35}{l}}
m>\dfrac{\sqrt{6}}{6} \\
m<-\dfrac{\sqrt{6}}{6} \\
\end{array} \right. \\
m\le \dfrac{5}{4} \\
m>\dfrac{1}{2} \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}<m\le \dfrac{5}{4}$
Kết hợp hai trường hợp ta được: $\left[ \begin{array}{*{35}{l}}
-\dfrac{\sqrt{6}}{6}\le m\le \dfrac{\sqrt{6}}{6} \\
\dfrac{1}{2}<m\le \dfrac{5}{4} \\
\end{array} \right.$
Lại có: $m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}\Rightarrow m=1.$
Vậy có 1 giá trị m thỏa mãn bài toán.