Google
Câu hỏi: Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $A\left( 2;0 \right)$ có hệ số góc $m\left( m>0 \right)$ cắt đồ thị $\left( C \right):y=-{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-9x+1$ tại ba điểm phân biệt $A,B,C.$ Gọi $B',C'$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $B,C$ lên trục tung. Biết rằng hình thang $BB'C'C$ có diện tích bằng 8, giá trị của $m$ thuộc khoảng nào sau đây?
A. $\left( 5;8 \right).$
B. $\left( -5;0 \right).$
C. $\left( 0;2 \right).$
D. $\left( 1;5 \right).$
A. $\left( 5;8 \right).$
B. $\left( -5;0 \right).$
C. $\left( 0;2 \right).$
D. $\left( 1;5 \right).$
Cách 1:
Phương trình đường thẳng $\left( d \right)$ có hệ số góc $m$ và đi qua $A\left( 2;0 \right)$ là $y=mx-2m$
Hoành độ giao điểm của $\left( d \right)$ và $\left( C \right)$ là nghiệm của phương trình:
$-{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-9x+2=m\left( x-1 \right)\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}-4x+m+1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2 \\
& {{x}^{2}}-4x+m+1=0\left( 1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
$x=2\Rightarrow y=0\Rightarrow A\left( 2;0 \right).$ Do đó: $\left( C \right)$ cắt $\left( d \right)$ tại 3 điểm phân biệt $\Leftrightarrow $ phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ khác $2\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta '=3-m>0 \\
& {{2}^{2}}-4.2+m+1\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -m>-3 \\
& m-3\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<3 \\
& m\ne 3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m<3$
Theo định lí Vi-et: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=4 \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}=m+1 \\
\end{aligned} \right., $ mà $ m>0\Rightarrow m+1>0\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}>0 \\
& {{x}_{1}}.{{x}_{2}}>0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}>0 \\
& {{x}_{2}}>0 \\
\end{aligned} \right.$
Giả sử $B\left( {{x}_{1}};m{{x}_{1}}-2m \right)$ và $C\left( {{x}_{2}};m{{x}_{2}}-2m \right)\Rightarrow B'\left( 0;m{{x}_{1}}-2m \right)$ và $C'\left( 0;m{{x}_{2}}-2m \right).$
$\Rightarrow B'C'=\left| m\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right) \right|=m\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|;BB'=\left| {{x}_{1}} \right|={{x}_{1}};CC'=\left| {{x}_{2}} \right|={{x}_{2}}$
Ta có: ${{S}_{BB'C'C}}=\dfrac{1}{2}B'C'\left( BB'+CC' \right)=8\Leftrightarrow B'C'\left( BB'+CC' \right)=16\Leftrightarrow m\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=16$
$\Leftrightarrow m\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=4\Leftrightarrow {{m}^{2}}{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}=16\Leftrightarrow {{m}^{2}}\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]=16\Leftrightarrow {{m}^{2}}\left( 16-4m-4 \right)=16$
$\Leftrightarrow {{m}^{3}}-3{{m}^{2}}+4=0\Leftrightarrow \left( m+1 \right){{\left( m-2 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow m=-1$ hoặc $m=2$
Vì $0<m<3\Rightarrow m=2\Rightarrow m\in \left( 1;5 \right).$
Cách 2:
Phương trình đường thẳng $\left( d \right)$ có hệ số góc $m$ và đi qua $A\left( 2;0 \right)$ và $y=m\left( x-2 \right)$
Xét hàm số $y=f\left( x \right)=-{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-9x+2\left( C \right)$
TXĐ: $D=\mathbb{R}$
$y'=-3{{x}^{2}}+12x-9=0\Leftrightarrow -6x=-12\Leftrightarrow x=2;f\left( 2 \right)=0$
$\Rightarrow $ Đồ thị $\left( C \right)$ nhận điểm $A\left( 2;0 \right)$ làm điểm uốn.
$\Rightarrow B$ và $C$ đối xứng nhau qua $A;B'$ và $C'$ đối xứng nhau qua $O$
$\Rightarrow OA$ là đường trung bình của hình thang $BB'C'C\Rightarrow \dfrac{BB'+CC'}{2}=OA=2$
Diện tích của hình thang $BB'C'C$ bằng $8\Rightarrow B'C'=4$
Không mất tính tổng quát, giả sử ${{y}_{B}}>0\Rightarrow {{y}_{B}}=2\Rightarrow -{{x}_{B}}^{3}+6x_{B}^{2}-9{{x}_{B}}+2=2\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{B}}=0 \\
& {{x}_{B}}=3 \\
\end{aligned} \right.$
+ ${{x}_{B}}=0\Rightarrow B\left( 0;2 \right)\Rightarrow \left( d \right)$ có phương trình $y=-x+2\Rightarrow m=-1<0$ (loại).
+ ${{x}_{B}}=3\Rightarrow B\left( 3;2 \right)\Rightarrow \left( d \right)$ có phương trình $y=2x-4\Rightarrow m=2$ (thỏa mãn).
Vậy giá trị của $m$ thuộc khoảng $\left( 1;5 \right).$
Phương trình đường thẳng $\left( d \right)$ có hệ số góc $m$ và đi qua $A\left( 2;0 \right)$ là $y=mx-2m$
Hoành độ giao điểm của $\left( d \right)$ và $\left( C \right)$ là nghiệm của phương trình:
$-{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-9x+2=m\left( x-1 \right)\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}-4x+m+1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2 \\
& {{x}^{2}}-4x+m+1=0\left( 1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
$x=2\Rightarrow y=0\Rightarrow A\left( 2;0 \right).$ Do đó: $\left( C \right)$ cắt $\left( d \right)$ tại 3 điểm phân biệt $\Leftrightarrow $ phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ khác $2\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta '=3-m>0 \\
& {{2}^{2}}-4.2+m+1\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -m>-3 \\
& m-3\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<3 \\
& m\ne 3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m<3$
Theo định lí Vi-et: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=4 \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}=m+1 \\
\end{aligned} \right., $ mà $ m>0\Rightarrow m+1>0\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}>0 \\
& {{x}_{1}}.{{x}_{2}}>0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}>0 \\
& {{x}_{2}}>0 \\
\end{aligned} \right.$
Giả sử $B\left( {{x}_{1}};m{{x}_{1}}-2m \right)$ và $C\left( {{x}_{2}};m{{x}_{2}}-2m \right)\Rightarrow B'\left( 0;m{{x}_{1}}-2m \right)$ và $C'\left( 0;m{{x}_{2}}-2m \right).$
$\Rightarrow B'C'=\left| m\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right) \right|=m\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|;BB'=\left| {{x}_{1}} \right|={{x}_{1}};CC'=\left| {{x}_{2}} \right|={{x}_{2}}$
Ta có: ${{S}_{BB'C'C}}=\dfrac{1}{2}B'C'\left( BB'+CC' \right)=8\Leftrightarrow B'C'\left( BB'+CC' \right)=16\Leftrightarrow m\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=16$
$\Leftrightarrow m\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=4\Leftrightarrow {{m}^{2}}{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}=16\Leftrightarrow {{m}^{2}}\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]=16\Leftrightarrow {{m}^{2}}\left( 16-4m-4 \right)=16$
$\Leftrightarrow {{m}^{3}}-3{{m}^{2}}+4=0\Leftrightarrow \left( m+1 \right){{\left( m-2 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow m=-1$ hoặc $m=2$
Vì $0<m<3\Rightarrow m=2\Rightarrow m\in \left( 1;5 \right).$
Cách 2:
Phương trình đường thẳng $\left( d \right)$ có hệ số góc $m$ và đi qua $A\left( 2;0 \right)$ và $y=m\left( x-2 \right)$
Xét hàm số $y=f\left( x \right)=-{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-9x+2\left( C \right)$
TXĐ: $D=\mathbb{R}$
$y'=-3{{x}^{2}}+12x-9=0\Leftrightarrow -6x=-12\Leftrightarrow x=2;f\left( 2 \right)=0$
$\Rightarrow $ Đồ thị $\left( C \right)$ nhận điểm $A\left( 2;0 \right)$ làm điểm uốn.
$\Rightarrow B$ và $C$ đối xứng nhau qua $A;B'$ và $C'$ đối xứng nhau qua $O$
$\Rightarrow OA$ là đường trung bình của hình thang $BB'C'C\Rightarrow \dfrac{BB'+CC'}{2}=OA=2$
Diện tích của hình thang $BB'C'C$ bằng $8\Rightarrow B'C'=4$
Không mất tính tổng quát, giả sử ${{y}_{B}}>0\Rightarrow {{y}_{B}}=2\Rightarrow -{{x}_{B}}^{3}+6x_{B}^{2}-9{{x}_{B}}+2=2\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{B}}=0 \\
& {{x}_{B}}=3 \\
\end{aligned} \right.$
+ ${{x}_{B}}=0\Rightarrow B\left( 0;2 \right)\Rightarrow \left( d \right)$ có phương trình $y=-x+2\Rightarrow m=-1<0$ (loại).
+ ${{x}_{B}}=3\Rightarrow B\left( 3;2 \right)\Rightarrow \left( d \right)$ có phương trình $y=2x-4\Rightarrow m=2$ (thỏa mãn).
Vậy giá trị của $m$ thuộc khoảng $\left( 1;5 \right).$
Đáp án D.