Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $A(2;0)$ có hệ số góc $m(m>0)$ cắt đồ thị $\left(C\right):y=-x^3+6x^2-9x+1$...

Cách 1:
Phương trình đường thẳng $\left(d\right)$ có hệ số góc $m$ và đi qua $A(2;0)$ là $y=mx-2m$
Hoành độ giao điểm của $\left(d\right)$ và $\left(C\right)$ là nghiệm của phương trình:
$-x^3+6x^2-9x+2=m(x-1)\iff (x-2)(x^2-4x+m+1)=0\iff [\begin{array}{rl}& x=2\\ & x^2-4x+m+1=0\left(1\right)\end{array}$
$x=2\Rightarrow y=0\Rightarrow A(2;0).$ Do đó: $\left(C\right)$ cắt $\left(d\right)$ tại 3 điểm phân biệt $\iff$ phương trình $\left(1\right)$ có hai nghiệm phân biệt $x_1;x_2$ khác $2\iff \{\begin{array}{rl}& {\mathrm{\Delta }}^{\prime }=3-m>0\\ & 2^2-4.2+m+1\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& -m>-3\\ & m-3\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& m<3\\ & m\ne 3\end{array}\iff m<3$
Theo định lí Vi-et: $\{\begin{array}{rl}& x_1+x_2=4\\ & x_1{x}_2=m+1\end{array},$ mà $m>0\Rightarrow m+1>0\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& x_1+x_2>0\\ & x_1.x_2>0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& x_1>0\\ & x_2>0\end{array}$
Giả sử $B(x_1;m{x}_1-2m)$ và $C(x_2;m{x}_2-2m)\Rightarrow B^{\prime }(0;m{x}_1-2m)$ và $C^{\prime }(0;m{x}_2-2m).$
$\Rightarrow B^{\prime }{C}^{\prime }=\left|m(x_1-x_2)\right|=m|x_1-x_2|;B{B}^{\prime }=\left|x_1\right|=x_1;C{C}^{\prime }=\left|x_2\right|=x_2$
Ta có: $S_{B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C}={\displaystyle \frac{1}{2}}{B}^{\prime }{C}^{\prime }(B{B}^{\prime }+C{C}^{\prime })=8\iff B^{\prime }{C}^{\prime }(B{B}^{\prime }+C{C}^{\prime })=16\iff m|x_1-x_2|(x_1+x_2)=16$
$\iff m|x_1-x_2|=4\iff m^2{(x_1-x_2)}^2=16\iff m^2[{(x_1+x_2)}^2-4x_1{x}_2]=16\iff m^2(16-4m-4)=16$
$\iff m^3-3m^2+4=0\iff (m+1){(m-2)}^2=0\iff m=-1$ hoặc $m=2$
Vì $0<m<3\Rightarrow m=2\Rightarrow m\in (1;5).$
Cách 2:
Phương trình đường thẳng $\left(d\right)$ có hệ số góc $m$ và đi qua $A(2;0)$ và $y=m(x-2)$
Xét hàm số $y=f\left(x\right)=-x^3+6x^2-9x+2\left(C\right)$
TXĐ: $D=\mathbb{R}$
$y^{\prime }=-3x^2+12x-9=0\iff -6x=-12\iff x=2;f\left(2\right)=0$
$\Rightarrow$ Đồ thị $\left(C\right)$ nhận điểm $A(2;0)$ làm điểm uốn.
$\Rightarrow B$ và $C$ đối xứng nhau qua $A;B^{\prime }$ và $C^{\prime }$ đối xứng nhau qua $O$
$\Rightarrow OA$ là đường trung bình của hình thang $B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C\Rightarrow {\displaystyle \frac{B{B}^{\prime }+C{C}^{\prime }}{2}}=OA=2$

Diện tích của hình thang $B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C$ bằng $8\Rightarrow B^{\prime }{C}^{\prime }=4$
Không mất tính tổng quát, giả sử $y_B>0\Rightarrow y_B=2\Rightarrow -{x_B}^3+6x_B^2-9x_B+2=2\Rightarrow [\begin{array}{rl}& x_B=0\\ & x_B=3\end{array}$
+ $x_B=0\Rightarrow B(0;2)\Rightarrow \left(d\right)$ có phương trình $y=-x+2\Rightarrow m=-1<0$ (loại).
+ $x_B=3\Rightarrow B(3;2)\Rightarrow \left(d\right)$ có phương trình $y=2x-4\Rightarrow m=2$ (thỏa mãn).
Vậy giá trị của $m$ thuộc khoảng $(1;5).$