Google
Câu hỏi: Gọi $a$ là số thực lớn nhất để bất phương trình ${{x}^{2}}-x+2+a\ln \left( {{x}^{2}}-x+1 \right)\ge 0$ nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $a\in \left( 6;7 \right].$
B. $a\in \left( 2;3 \right].$
C. $a\in \left( -6;-5 \right].$
D. $a\in \left( 8;+\infty \right).$
A. $a\in \left( 6;7 \right].$
B. $a\in \left( 2;3 \right].$
C. $a\in \left( -6;-5 \right].$
D. $a\in \left( 8;+\infty \right).$
Với $a=0$ có ${{x}^{2}}-x+2+a\ln \left( {{x}^{2}}-x+1 \right)\ge 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x+2\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ suy ra $a=0$ thỏa mãn.
Vậy ta chỉ cần tìm các giá trị $a>0.$
Đặt $t={{x}^{2}}-x+1,$ có $t\ge \dfrac{3}{4}.$
Bất phương trình đưa về tìm $a>0$ để $t+1+a\ln t\ge 0,\forall t\ge \dfrac{3}{4}.$
Đặt $f\left( t \right)=t+1+a\ln t$ có $f'\left( t \right)=1+\dfrac{a}{t}>0,\forall a>0,t\ge \dfrac{3}{4}.$
Bảng biến thiên
Có $f\left( t \right)\ge 0,\forall t\ge \dfrac{3}{4}$ khi và chỉ khi $\dfrac{7}{4}+a\ln \dfrac{3}{4}\ge 0\Leftrightarrow a\le \dfrac{-7}{4\ln \dfrac{3}{4}}\approx 6,08\Rightarrow a\in \left( 6;7 \right].$
Vậy ta chỉ cần tìm các giá trị $a>0.$
Đặt $t={{x}^{2}}-x+1,$ có $t\ge \dfrac{3}{4}.$
Bất phương trình đưa về tìm $a>0$ để $t+1+a\ln t\ge 0,\forall t\ge \dfrac{3}{4}.$
Đặt $f\left( t \right)=t+1+a\ln t$ có $f'\left( t \right)=1+\dfrac{a}{t}>0,\forall a>0,t\ge \dfrac{3}{4}.$
Bảng biến thiên
Có $f\left( t \right)\ge 0,\forall t\ge \dfrac{3}{4}$ khi và chỉ khi $\dfrac{7}{4}+a\ln \dfrac{3}{4}\ge 0\Leftrightarrow a\le \dfrac{-7}{4\ln \dfrac{3}{4}}\approx 6,08\Rightarrow a\in \left( 6;7 \right].$
Đáp án A.