Gọi $a$ là số thực lớn nhất để bất phương trình $x^{2} - x + 2 + a \ln (x^{2} - x + 1) \geq 0$ nghiệm đúng với mọi $x \in R .$ Mệnh...

The Collectors · 29/5/21

Câu hỏi: Gọi

a

là số thực lớn nhất để bất phương trình

x^{2} - x + 2 + a \ln (x^{2} - x + 1) \geq 0

nghiệm đúng với mọi

x \in R .

Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.

a \in (6; 7] .

B.

a \in (2; 3] .

C.

a \in (- 6; - 5] .

D.

a \in (8; + \infty) .

Với

a = 0

có

x^{2} - x + 2 + a \ln (x^{2} - x + 1) \geq 0 \Leftrightarrow x^{2} - x + 2 \geq 0, \forall x \in R

suy ra

a = 0

thỏa mãn.
Vậy ta chỉ cần tìm các giá trị

a > 0.

Đặt

t = x^{2} - x + 1,

có

t \geq \frac{3}{4} .

Bất phương trình đưa về tìm

a > 0

để

t + 1 + a \ln t \geq 0, \forall t \geq \frac{3}{4} .

Đặt

f (t) = t + 1 + a \ln t

có

f^{'} (t) = 1 + \frac{a}{t} > 0, \forall a > 0, t \geq \frac{3}{4} .

Bảng biến thiên

Có

f (t) \geq 0, \forall t \geq \frac{3}{4}

khi và chỉ khi

\frac{7}{4} + a \ln \frac{3}{4} \geq 0 \Leftrightarrow a \leq \frac{- 7}{4 \ln \frac{3}{4}} \approx 6, 08 \Rightarrow a \in (6; 7] .

Đáp án A.

Gọi a là số thực lớn nhất để bất phương trình x2−x+2+aln⁡(x2−x+1)≥0 nghiệm đúng với mọi x∈R. Mệnh...