Giải mục 4 trang 83, 84 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Hoạt động 4

Cho hai hàm số và .
Hàm số có liên tục tại không? Giải thích.
Phương pháp giải:
Xét tính liên tục của hàm số tại :
Bước 1: Kiểm tra x = 2 có thuộc tập xác định không. Tính .
Bước 2: Tính .
Bước 3: Kết luận.
Lời giải chi tiết:
Đặt . Ta có:

Vì nên hàm số liên tục tại .

Thực hành 4

Xét tính liên tục của các hàm số:
a) ;
b) .
Phương pháp giải:
Đưa hàm số thành tổng, hiệu, tích của hai hàm số rồi xét tính liên tục của hai hàm số đó.
Lời giải chi tiết:
a) TXĐ:
Hàm số xác định trên nên liên tục trên .
Hàm số là đa thức nên liên tục trên .
Vậy hàm số cũng liên tục trên .
b) TXĐ:
Hàm số là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên các khoảng và .
Hàm số là hàm lượng giác nên liên tục trên . Vậy hàm số cũng liên tục trên các khoảng và .
Vậy hàm số liên tục trên các khoảng và .

Vận dụng 3

Trong mặt phẳng toạ độ , cho đường tròn tâm , bán kính bằng 1. Một đường thẳng thay đổi, luôn vuông góc với trục hoành, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ và cắt đường tròn tại các điểm và (xem Hình 6).
a) Viết biểu thức biểu thị diện tích của tam giác .
b) Hàm số có liên tục trên không? Giải thích.
c) Tìm các giới hạn và .

Phương pháp giải:
a) Viết hàm số biểu thị phương trình đường tròn , dựa vào dữ kiện của đề bài, tính sau đó tính diện tích của tam giác .
b) Sử dụng tính chất liên tục của các hàm số sơ cấp.
c) Áp dụng các công thức tính giới hạn của hàm số.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: .
Độ dài chính là giá trị tuyệt đối của hoành độ của điểm . Vậy .
Độ dài chính là giá trị tuyệt đối của tung độ của điểm . Vậy .
.
b) Xét hàm số .
ĐKXĐ:
Hàm số có tập xác định là .
Vậy hàm số xác định trên các khoảng và nên liên tục trên các khoảng và .
Ta có:


Vì nên
Vậy hàm số liên tục tại điểm . Vậy hàm số liên tục trên .
c)