Giải mục 4 trang 43, 44, 45 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều

HĐ 5​

Giả sử đường elip (E) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho , ở đó với . Ta chọn hệ trục tọa độ có gốc là trung điểm của đoạn thẳng . Trục là đường trung trực của và nằm trên tia (Hình 8). Khi đó là các tiêu diểm của elip (E)

Giả sử điểm thuộc elip (E)
Chứng minh rằng:
a)
b)
c)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có:
b) Ta có:
c)

HĐ 6​

Sử dụng đẳng thức c) ở trên và đẳng thức , chứng minh:
a)
b)
c)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có:

b) Ta có:
Cộng hai vế của (1) và (2) ta được:
c) Ta có:

VD 4​

Cho elip có phương trình chính tắc . Giả sử M là điểm thuộc elip và có hoành độ là 2. Tìm độ dài của các bán kính qua tiêu của điểm M.
Phương pháp giải:
Cho elip (E):
+ Độ dài bán kính qua tiêu của điểm trên (E) là:
Lời giải chi tiết:
Ta có . Do đó . Vậy độ dài các bán kính qua tiêu của điểm M là:

VD 5​

Cho elip có phương trình chính tắc . Giả sử là điểm thuộc elip. Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của bán kính qua tiêu và
Phương pháp giải:
Cho elip (E):
+ Độ dài bán kính qua tiêu của điểm trên (E) là:
có giá trị nhỏ nhất là khi và có giá trị lớn nhất là khi
có giá trị nhỏ nhất là khi và có giá trị lớn nhất là khi
Lời giải chi tiết:
Vì nên
Vậy có giá trị nhỏ nhất là khi và có giá trị lớn nhất là khi
Tương tự với , ta có hay nên
Vậy có giá trị nhỏ nhất là khi và có giá trị lớn nhất là khi

Bài 3​

Cho elip (E): với tiêu điểm . Tìm tọa độ sao cho độ dài nhỏ nhất
Phương pháp giải:
Cho elip (E):
+ Độ dài bán kính qua tiêu của điểm trên (E) là:
có giá trị nhỏ nhất là khi và có giá trị lớn nhất là khi
có giá trị nhỏ nhất là khi và có giá trị lớn nhất là khi
Lời giải chi tiết:
Elip (E): có
Độ dài bán kính qua tiêu
Vì có độ dài nhỏ nhất là khi nên
có độ dài nhỏ nhất là khi
Mà
Vậy thì có độ dài nhỏ nhất bằng .