Giải mục 3 trang 63 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Hoạt động 4

Cho cấp số nhân với và công bội
a) So sánh với 1.
b) Tính Từ đó, hãy tính
Phương pháp giải:
- Sử dụng định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn.
Dãy số có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu , kí hiệu hay khi hay .
- Công thức tính tổng cấp số nhân
Lời giải chi tiết:
a)
b)

Luyện tập, vận dụng 5

Tính tổng
Phương pháp giải:
Tổng cấp số nhân lùi vô hạn
Lời giải chi tiết:
Các số hạng của tổng lập thành cấp số nhân có nên

Luyện tập, vận dụng 6

Giải thích vì sao nghịch lí Zénon trong phần mở đầu là không đúng.
Phương pháp giải:
Tổng cấp số nhân lùi vô hạn
Lời giải chi tiết:
Để đơn giản, ở đây ta chỉ xét một trường hợp cụ thể (trường hợp tổng quát được giải quyết tương tự).
Giả sử tốc độ chạy của A-sin là 100 km/h, còn tốc độ chạy của rùa là 1km/h. Lúc xuất phát, rùa ở điểm A1​ cách điểm xuất phát O của A-sin 100km.
Ta tính thời gian A-sin đuổi kịp rùa, bằng cách tính tổng thời gian A-sin chạy hết các quãng đường OA1​, A1​A2​, A2​A3​,... , An-1​An​,... Nếu tổng này vô hạn thì A-sin không thể đuổi kịp được rùa, còn nếu nó hữu hạn thì đó chính là thời gian mà A-sin đuổi kịp rùa.
Để chạy hết quãng đường OA1​ =100 (km), A-sin phải mất thời gian t1​ = =1 (h).
Với thời gian t1​ này, rùa đã chạy được quãng đường A1​A2 ​=1 (km).
Để chạy hết quãng đường A1​A2 ​=1 (km), A-sin phải mất thời gian t2​ = (h).
Với thời gian t2​ rùa đã chạy thêm được quãng đường A2​A3 ​= (km).
Tiếp tục như vậy, để chạy hết quãng đường An-1​An​ = (km), A-sin phải mất thời gian tn​ = (h).
Vậy tổng thời gian A-sin chạy hết các quãng đường OA1​, A1​A2​, A2​A3​,... , An-1​An​,... là:

Đó là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với u1​ =1, công bội q = , nên ta có:

Như vậy, A-sin đuổi kịp rùa sau giờ.
Vậy nghịch lí Zénon trong phần mở đầu là không đúng.