Giải mục 2 trang 36, 37 SGK Toán 10 tập 1 - Kết nối tri thức

HĐ2

Nêu nhận xét về vị trí của hai điểm M, M’ đối với trục Oy. Từ đó nêu các mối quan hệ giữa và , giữa và .
Phương pháp giải:
Nhận xét vị trí của M và M’ trong mỗi trường hợp:
Khi : tương ứng là hoành độ và tung độ của điểm M.
Lời giải chi tiết:
M, M’ là hai điểm trên nửa đường tròn đơn vị tương ứng với hai góc và .
Giả sử . Khi đó
Trường hợp 1:
Khi đó
Tức là M và M’ lần lượt trùng nhau và trùng với B.

Và
Không tồn tại với
Trường hợp 2:
M nằm bên phải trục tung
M’ nằm bên trái trục tung

Dễ thấy:

Xét tam giác và tam giác ta có:


OB chung

Hay OB là trung trực của đoạn thẳng MM’.
Nói cách khác M và M’ đối xứng với nhau qua trục tung.
Mà nên

Trường hợp 3:
Khi đó M nằm bên trái trục tung và M’ nằm bên phải trục tung.
Tương tự ta cũng chứng minh được M và M’ đối xứng với nhau qua trục tung.
Như vậy

Kết luận: Với mọi , ta luôn có

Luyện tập 2

Trong Hình 3.6, hai điểm M, N ứng với hai góc phụ nhau và (). Chứng mình rằng . Từ đó nêu mối quan hệ giữa và .
Phương pháp giải:
Nhận xét vị trí của M và N trong mỗi trường hợp:
Khi : tương ứng là hoành độ và tung độ của điểm M.
Lời giải chi tiết:
Trường hợp 1:
Khi đó
Tức là M và N lần lượt trùng nhau với B và A.

Và
Trường hợp 2:
M và N cùng nằm bên trái phải trục tung.

Ta có:
Dễ thấy:
Xét hai tam giác vuông và tam giác ta có:



Mà nên . Nói cách khác:

Vận dụng

Một chiếc đu quay có bán kính 75 m, tâm của vòng quay ở độ cao 90 m (H.3.7), thời gian thực hiện mỗi vòng quay của đu quay là 30 phút. Nếu một người vào cabin tại vị trí thấp nhất của vòng quay, thì sau 20 phút quay, người đó ở độ cao bao nhiêu mét?

Phương pháp giải:
Bước 1: Giả sử chiều quay của chiếc đu quay. Xác định vị trí của cabin sau 20 phút.
Bước 2: Dựa vào giá trị lượng giác của góc, xác định khoảng cách từ cabin đến Ox (trong hình H.3.7)
Bước 3: Suy ra độ cao của người đó sau 20 phút quay.
Lời giải chi tiết:
Giả sử chiếc đu quay quay theo chiều kim đồng hồ.
Gọi M là vị trí của cabin, M’ là vị trí của cabin sau 20 phút và các điểm A A’, B, H như hình dưới.

Vì đi cả vòng quay mất 30 phút nên sau 20 phút, cabin sẽ đi quãng đường bằng chu vi đường tròn.
Sau 15 phút cabin đi chuyển từ điểm M đến điểm B, đi được chu vi đường tròn.
Trong 5 phút tiếp theo cabin đi chuyển từ điểm B đến điểm M’ tương ứng chu vi đường tròn hay cung .
Do đó:

Độ cao của người đó là: 37,5 + 90 = 127,5 (m).
Vậy sau 20 phút quay người đó ở độ cao 127,5 m.