Giải mục 2 trang 114, 115 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Hoạt động 2

Cho mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng . Giả sử và có điểm chung thì cắt theo giao tuyến (Hình 5).
a) Giải thích tại sao đường thẳng phải cắt ít nhất một trong hai đường thẳng . Điều này có trái với giả thiết và cùng song song với không?
b) Rút ra kết luận về số điểm chung và vị trí tương đối của và .

Phương pháp giải:
Sử dụng định lí:
‒ Cho đường thẳng song song với mặt phẳng . Nếu mặt phẳng chứa , cắt theo giao tuyến thì song song với .
‒ Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
‒ Đường thẳng song song với mặt phẳng nếu chúng không có điểm chung.
Lời giải chi tiết:
a) Gọi là giao điểm của và .
Ta có:

Do đó qua ta kẻ được hai đường thẳng và cùng song song với , mâu thuẫn với định lí qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
Vậy phải cắt ít nhất một trong hai đường thẳng .
Nếu đường thẳng cắt đường thẳng hoặc đường thẳng , mà đường thẳng nằm trong mặt phẳng , khi đó đường thẳng hoặc đường thẳng có 1 điểm chung với mặt phẳng . Điều này trái với giả thiết và cùng song song với .
b) Vì chứa đường thẳng mà song song với mặt phẳng nên và là hai mặt phẳng phân biệt.
Theo chứng minh ở trên, nếu và có điểm chung thì mâu thuẫn với giả thiết và cùng song song với .
Vậy hai mặt phẳng và không có điểm chung.

Thực hành 1

Cho tứ diện có lần lượt là trung điểm của . Chứng minh .
Phương pháp giải:
Sử dụng định lí 1: Nếu mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng đó cùng song song với mặt phẳng thì song song với .
Lời giải chi tiết:

Ta có: là trung điểm của
là trung điểm của
là đường trung bình của tam giác

là trung điểm của
là trung điểm của
là đường trung bình của tam giác

Ta có: