Giải mục 1 trang 43, 44, 45 SGK Toán 10 tập 2 - Kết nối tri thức

HĐ1

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C), tâm I(a;b), bán kính R (H.7.13). Khi đó, một điểm M(x;y) thuộc đường tròn (C) khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn điều kiện đại số nào?
Lời giải chi tiết:
Điểm thuộc đường tròn tâm , bán kính khi và chỉ khi hay

Luyện tập 1

Tìm tâm và bán kính của đường tròn .
Phương pháp giải:
Đường tròn tâm I(a;b) bán kính R có phương trình là:
.
Lời giải chi tiết:
Phương trình của là .
Vậy có tâm và bán kính .

Luyện tập 2

Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn đó.
a)
b)
c)
Phương pháp giải:
Phương trình là phương trình đường tròn khi và chỉ khi .
Lời giải chi tiết:
a) Đây không phải là dạng của phương trình đường tròn (hệ số bằng -1).
b) Vì nên phương trình đã cho không là phương trình tròn.
c) Vì nên phương trình đã cho là phương trình tròn có tâm và bán kính .

Luyện tập 3

Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm .
Phương pháp giải:
Tâm là giao điểm của hai đường trung trực của tam giác MNP và bán kính .
Lời giải chi tiết:
Gọi lần lượt là đường trung trực của hai đoạn thẳng MN, NP. Đường thẳng d đi qua trung điểm I của đoạn MN và vuông góc với MN.
Ta có:
Phương trình tổng quát của là: .
Tương tự, ta có phương trình đường thẳng là: .
Gọi là tâm đường tròn đi qua ba điểm M, N, P. Khi đó , do đó tọa điểm thỏa mãn hệ phương trình
Từ đó ta tìm được
Vậy phương trình đường tròn là: .
Cách 2:
Gọi phương trình đường tròn cần tìm là (C):
thuộc (C) nên ta có:

Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm M, N, P là: hay .

Vận dụng 1

Bên trong một hồ bơi, người ta dự định thiết kế hai bể sục nửa hình tròn bằng nhau và một bể sục hình tròn (H7.14) để người bơi có thể ngồi tựa lưng vào thành các bề sục thư giãn. Hãy tìm bán kính của các bể sục đề tồng chu Vị của ba bể là 32 m mà tổng diện tích (chiếm hồ bơi) là nhỏ nhất. Trong tính toán, lấy 13, 14, độ dài tính theo mét và làm tròn tới chữ số thập phân thứ hai.
Lời giải chi tiết:
Gọi bán kính bể hình tròn và bể nủa hình tròn tương ứng là x, y (m). Khi đó, tổng chu vi ba bể là 32 m khi và chỉ khi 1,57x + 2,57y-8=0.
Gọi tổng diện tích của ba bể sục là S (). Khi đó .
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét đường tròn (C): có tâm O(0, 0), bán kính và đường thẳng .
Ta có S nhỏ nhất khi R nhỏ nhất; thuộc đường thẳng , đồng thời M thuộc đường tròn . Bài toán chuyển thành: Tìm R nhỏ nhất để và có ít nhất một điểm chung. Điều đó tương đương với tiếp xúc với , đồng thời M trùng với H là hình chiếu vuông góc của O trên
Ta có: suy ra .
Phương trình OH là
Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ
Vậy bán kính của bể tròn và bể nửa hình tròn tương ứng là 1,38m và 2,27m.