Câu hỏi: Giải mục 1 trang 23, 24, 25 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều
Chia hình vuông nhỏ ở góc trên bên phải thành bốn hình vuông bằng nhau, lấy ra hình vuông nhỏ thứ hai (màu đỏ), cạnh của hình vuông đó bằng
Tiếp tục quá trình trên ta được dãy các hình vuông nhỏ (màu đỏ) ở hình 1.
Cạnh của hình vuông nhỏ thứ n (màu đỏ) bằng bao nhiêu? Vì sao?
Lời giải chi tiết:
Nhận xét:
Chia hình vuông cạnh a thành 4 hình vuông, lấy ra hình vuông nhỏ thứ nhất (như cách lấy ở trên) thì cạnh của hình vuông đó bằng
=> Sau mỗi lần lấy, độ lớn của cạnh hình vuông giảm đi 2 lần
=> Sau n lần, cạnh hình vuông nhỏ thứ n giảm đi
=> Cạnh của hình vuông nhỏ thứ n là
a) Chứng tỏ rằng P(1) là mệnh đề đúng.
b) Với k là một số nguyên dương tùy ý mà P(k) là mệnh đề đúng, cho biết
c) Với k là một số nguyên dương tùy ý mà P(k) là mệnh đề đúng, chứng tỏ rằng P(k+1) cũng là mệnh đề đúng bằng cách chỉ ra
Lời giải chi tiết:
a) Mệnh đề P(1) là: "
b) Mệnh đề P(k) là: "
Mệnh đề P(k) đúng thì
c) Mệnh đề P(k+1) là: "
Mệnh đề P(k) đúng nên ta có
Vậy mệnh đề P(k+1) cũng đúng.
a)
b)
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với
Bước 1: Chứng tỏ mệnh đề đúng với
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà P(k) là mệnh đề đúng, ta chứng tỏ P(k+1) cũng là mệnh đề đúng.
Lời giải chi tiết:
a) Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Khi
vì
Như vậy đẳng thức đúng với
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức đúng với k+1, tức là:
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
Suy ra
Vậy đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi
b) Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Khi
vì
Như vậy đẳng thức đúng với
Bước 2: Với k là một số nguyên dương lớn hơn 2 tùy ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức đúng với k+1, tức là:
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
Suy ra
Vậy đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi
Câu hỏi khởi động
Chia hình vuông cạnh 1 thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau, lấy ra hình vuông nhỏ thứ nhất (ở góc dưới bên trái, màu đỏ), cạnh của hình vuông đó bằngChia hình vuông nhỏ ở góc trên bên phải thành bốn hình vuông bằng nhau, lấy ra hình vuông nhỏ thứ hai (màu đỏ), cạnh của hình vuông đó bằng
Tiếp tục quá trình trên ta được dãy các hình vuông nhỏ (màu đỏ) ở hình 1.
Cạnh của hình vuông nhỏ thứ n (màu đỏ) bằng bao nhiêu? Vì sao?
Lời giải chi tiết:
Nhận xét:
Chia hình vuông cạnh a thành 4 hình vuông, lấy ra hình vuông nhỏ thứ nhất (như cách lấy ở trên) thì cạnh của hình vuông đó bằng
=> Sau mỗi lần lấy, độ lớn của cạnh hình vuông giảm đi 2 lần
=> Sau n lần, cạnh hình vuông nhỏ thứ n giảm đi
=> Cạnh của hình vuông nhỏ thứ n là
Hoạt động
Xét mệnh đề chứa biến P(n): "a) Chứng tỏ rằng P(1) là mệnh đề đúng.
b) Với k là một số nguyên dương tùy ý mà P(k) là mệnh đề đúng, cho biết
c) Với k là một số nguyên dương tùy ý mà P(k) là mệnh đề đúng, chứng tỏ rằng P(k+1) cũng là mệnh đề đúng bằng cách chỉ ra
Lời giải chi tiết:
a) Mệnh đề P(1) là: "
b) Mệnh đề P(k) là: "
Mệnh đề P(k) đúng thì
c) Mệnh đề P(k+1) là: "
Mệnh đề P(k) đúng nên ta có
Vậy mệnh đề P(k+1) cũng đúng.
Luyện tập – vận dụng 1
Chứng minh:a)
b)
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với
Bước 1: Chứng tỏ mệnh đề đúng với
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà P(k) là mệnh đề đúng, ta chứng tỏ P(k+1) cũng là mệnh đề đúng.
Lời giải chi tiết:
a) Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Khi
vì
Như vậy đẳng thức đúng với
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức đúng với k+1, tức là:
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
Suy ra
Vậy đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi
b) Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Khi
vì
Như vậy đẳng thức đúng với
Bước 2: Với k là một số nguyên dương lớn hơn 2 tùy ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức đúng với k+1, tức là:
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
Suy ra
Vậy đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi