Câu hỏi: Cho tam giác đều màu xanh (Hình thứ nhất)
a) Nêu quy luật chọn tam giác đều màu trắng ở Hình thứ hai
b) Nêu quy luật chọn các tam giác đều màu trắng ở Hình thứ ba
c) Nêu quy luật chọn các tam giác đều màu trắng từ Hình thứ tư và các tam giác đều màu trắng ở những hình sau đó.
d) Tính số tam giác đều màu xanh lần lượt trong các Hình thứ nhất, Hình thứ hai, Hình thứ ba.
e) Dự đoán số tam giác đều màu xanh trong Hình thứ n. Chứng minh kết quả đó banwggf phương pháp quy nạp toán học.
a) Nêu quy luật chọn tam giác đều màu trắng ở Hình thứ hai
b) Nêu quy luật chọn các tam giác đều màu trắng ở Hình thứ ba
c) Nêu quy luật chọn các tam giác đều màu trắng từ Hình thứ tư và các tam giác đều màu trắng ở những hình sau đó.
d) Tính số tam giác đều màu xanh lần lượt trong các Hình thứ nhất, Hình thứ hai, Hình thứ ba.
e) Dự đoán số tam giác đều màu xanh trong Hình thứ n. Chứng minh kết quả đó banwggf phương pháp quy nạp toán học.
Lời giải chi tiết
a) Cách chọn tam giác đều màu trắng ở Hình thứ hai
Bước 1: Tìm trung điểm các cạnh => được 3 trung điểm
Bước 2: Tô màu trắng cho tam giác có 3 đỉnh là 3 trung điểm ấy.
b) Nêu quy luật chọn các tam giác đều màu trắng ở Hình thứ ba
Từ mỗi tam giác xanh của Hình thứ hai, ta thực hiện các bước:
Bước 1: Tìm trung điểm các cạnh => được 3 trung điểm
Bước 2: Tô màu trắng cho tam giác có 3 đỉnh là 3 trung điểm ấy.
c) Quy luật chọn các tam giác đều màu trắng từ Hình thứ tư và các tam giác đều màu trắng ở những hình sau đó.
Từ mỗi tam giác xanh của Hình thứ ba, ta thực hiện các bước:
Bước 1: Tìm trung điểm các cạnh => được 3 trung điểm
Bước 2: Tô màu trắng cho tam giác có 3 đỉnh là 3 trung điểm ấy.
Quy luật chọn các tam giác đều màu trắng ở hình thứ n đó:
Từ mỗi tam giác xanh của Hình thứ (n-1), ta thực hiện các bước:
Bước 1: Tìm trung điểm các cạnh => được 3 trung điểm
Bước 2: Tô màu trắng cho tam giác có 3 đỉnh là 3 trung điểm ấy.
d) Hình thứ nhất có 1 tam giác đều màu xanh
Hình thứ hai có 3 tam giác đều màu xanh
Hình thứ ba có 9 tam giác đều màu xanh
e) Vì Hình thứ nhất có tam giác đều màu xanh
Hình thứ hai có tam giác đều màu xanh
Hình thứ ba có tam giác đều màu xanh
Dự đoán Hình thứ n có tam giác đều màu xanh
Chứng minh:
Bước 1: Khi ta có Hình thứ nhất có tam giác đều màu xanh, đúng.
Như vậy mệnh đề đúng với
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với k+1, tức là:
Hình thứ k+1 có tam giác đều màu xanh
Hay “Hình thứ k+1 có tam giác đều màu xanh”
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
Hình thứ k có tam giác đều màu xanh
Nhận xét: Theo quy luật thì mỗi hình màu xanh sẽ được chia thành 4 tam giác đều ở hình sau, trong đó tô 1 tam giác đều màu trắng và 3 tam giác đều màu xanh. Nói cách khác, mỗi tam giác đều màu xanh sẽ chia thành 3 tam giác đều (nhỏ hơn) màu xanh ở hình tiếp theo.
Mà có tam giác đều màu xanh
Số tam giác đều màu xanh trong Hình thứ k+1 là:
Vậy mệnh đề đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi .
a) Cách chọn tam giác đều màu trắng ở Hình thứ hai
Bước 1: Tìm trung điểm các cạnh => được 3 trung điểm
Bước 2: Tô màu trắng cho tam giác có 3 đỉnh là 3 trung điểm ấy.
b) Nêu quy luật chọn các tam giác đều màu trắng ở Hình thứ ba
Từ mỗi tam giác xanh của Hình thứ hai, ta thực hiện các bước:
Bước 1: Tìm trung điểm các cạnh => được 3 trung điểm
Bước 2: Tô màu trắng cho tam giác có 3 đỉnh là 3 trung điểm ấy.
c) Quy luật chọn các tam giác đều màu trắng từ Hình thứ tư và các tam giác đều màu trắng ở những hình sau đó.
Từ mỗi tam giác xanh của Hình thứ ba, ta thực hiện các bước:
Bước 1: Tìm trung điểm các cạnh => được 3 trung điểm
Bước 2: Tô màu trắng cho tam giác có 3 đỉnh là 3 trung điểm ấy.
Quy luật chọn các tam giác đều màu trắng ở hình thứ n đó:
Từ mỗi tam giác xanh của Hình thứ (n-1), ta thực hiện các bước:
Bước 1: Tìm trung điểm các cạnh => được 3 trung điểm
Bước 2: Tô màu trắng cho tam giác có 3 đỉnh là 3 trung điểm ấy.
d) Hình thứ nhất có 1 tam giác đều màu xanh
Hình thứ hai có 3 tam giác đều màu xanh
Hình thứ ba có 9 tam giác đều màu xanh
e) Vì Hình thứ nhất có
Hình thứ hai có
Hình thứ ba có
Dự đoán Hình thứ n có
Chứng minh:
Bước 1: Khi
Như vậy mệnh đề đúng với
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với k+1, tức là:
Hình thứ k+1 có
Hay “Hình thứ k+1 có
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
Hình thứ k có
Nhận xét: Theo quy luật thì mỗi hình màu xanh sẽ được chia thành 4 tam giác đều ở hình sau, trong đó tô 1 tam giác đều màu trắng và 3 tam giác đều màu xanh. Nói cách khác, mỗi tam giác đều màu xanh sẽ chia thành 3 tam giác đều (nhỏ hơn) màu xanh ở hình tiếp theo.
Mà có
Vậy mệnh đề đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi