Google
Câu hỏi: Để kéo đường dây điện bằng qua một hồ hình chữ nhật \(ABCD\) với độ dài \(AB = 200 m, AD = 180 m,\) người ta dự định làm 4 cột điện liên tiếp cách đều, cột thứ nhất nằm bên trên bờ \(AB\) và cách đỉnh \(A\) khoảng cách 20 m, cột thứ tư nằm trên bờ \(CD\) và cách đỉnh \(C\) khoảng cách 30 m. Tính các khoảng cách từ vị trí các cột thứ hai, thứ ba đến các bờ \(AB, AD.\)
Lời giải chi tiết
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho \(A(0;0), B(200;0), C(200;180), D(0;180).\)
Gọi vị trí các cột điện là: \({C_1}, {C_2}, {C_3}, {C_4}.\)
Ta có: \(A{C_1} = 20 m\) nên \({C_1}(20;0)\) và \(C{C_4} = 30 m\) nên \({C_4}(170;180).\)
Do bốn cột điện \({C_1}, {C_2}, {C_3}, {C_4}\) được trồng liên tiếp đều nhau nên \(\overrightarrow {{C_1}{C_2}} = \frac{1}{3}\overrightarrow {{C_1}{C_4}} \) và \(\overrightarrow {{C_1}{C_4}} = 3\overrightarrow {{C_3}{C_4}} \)
Gọi tọa độ điểm \({C_2}(x;y)\) và \({C_3}(x';y')\)
Ta có: \(\overrightarrow {{C_1}{C_2}} = \frac{1}{3}\overrightarrow {{C_1}{C_4}} \Leftrightarrow (x - 20;y) = \frac{1}{3}\left( {150;180} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow (x - 20;y) = \left( {50;60} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 20 = 50}\\{y = 60}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 70}\\{y = 60}\end{array}} \right.} \right.\end{array}\)
\( \Rightarrow {C_2}(70;60)\)
\( \Rightarrow d\left( {{C_1};AB} \right) = d\left( {{C_1};Ox} \right) = 70\) và \(d\left( {{C_1};AD} \right) = d\left( {{C_1};Oy} \right) = 60.\)
Ta có: \(\overrightarrow {{C_1}{C_4}} = 3\overrightarrow {{C_3}{C_4}} \Leftrightarrow \left( {150;180} \right) = 3\left( {170 - x';180 - y'} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {150;180} \right) = \left( {510 - 3x';540 - 3y'} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{510 - 3x' = 150}\\{540 - y' = 180}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' = 120}\\{y' = 120}\end{array}} \right.} \right.\end{array}\)
\( \Rightarrow \) \({C_3}(120;120)\)
\( \Rightarrow \) \(d\left( {{C_3};AB} \right) = d\left( {{C_3};Ox} \right) = 120\) và \(d\left( {{C_3};AD} \right) = d\left( {{C_3};Oy} \right) = 120\)
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho \(A(0;0), B(200;0), C(200;180), D(0;180).\)
Gọi vị trí các cột điện là: \({C_1}, {C_2}, {C_3}, {C_4}.\)
Ta có: \(A{C_1} = 20 m\) nên \({C_1}(20;0)\) và \(C{C_4} = 30 m\) nên \({C_4}(170;180).\)
Do bốn cột điện \({C_1}, {C_2}, {C_3}, {C_4}\) được trồng liên tiếp đều nhau nên \(\overrightarrow {{C_1}{C_2}} = \frac{1}{3}\overrightarrow {{C_1}{C_4}} \) và \(\overrightarrow {{C_1}{C_4}} = 3\overrightarrow {{C_3}{C_4}} \)
Gọi tọa độ điểm \({C_2}(x;y)\) và \({C_3}(x';y')\)
Ta có: \(\overrightarrow {{C_1}{C_2}} = \frac{1}{3}\overrightarrow {{C_1}{C_4}} \Leftrightarrow (x - 20;y) = \frac{1}{3}\left( {150;180} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow (x - 20;y) = \left( {50;60} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 20 = 50}\\{y = 60}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 70}\\{y = 60}\end{array}} \right.} \right.\end{array}\)
\( \Rightarrow {C_2}(70;60)\)
\( \Rightarrow d\left( {{C_1};AB} \right) = d\left( {{C_1};Ox} \right) = 70\) và \(d\left( {{C_1};AD} \right) = d\left( {{C_1};Oy} \right) = 60.\)
Ta có: \(\overrightarrow {{C_1}{C_4}} = 3\overrightarrow {{C_3}{C_4}} \Leftrightarrow \left( {150;180} \right) = 3\left( {170 - x';180 - y'} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {150;180} \right) = \left( {510 - 3x';540 - 3y'} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{510 - 3x' = 150}\\{540 - y' = 180}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' = 120}\\{y' = 120}\end{array}} \right.} \right.\end{array}\)
\( \Rightarrow \) \({C_3}(120;120)\)
\( \Rightarrow \) \(d\left( {{C_3};AB} \right) = d\left( {{C_3};Ox} \right) = 120\) và \(d\left( {{C_3};AD} \right) = d\left( {{C_3};Oy} \right) = 120\)