Google
Câu hỏi: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss:
a) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + z = 3\\ - y + z = 2\\y + 2z = 1\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 2y - 4z = 3\\4x + 6y - z = 17\\x + 2y = 5\end{array} \right.\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 1\\3x - y - z = 4\\x + 5y + 5z = - 1\end{array} \right.\)
a) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + z = 3\\ - y + z = 2\\y + 2z = 1\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 2y - 4z = 3\\4x + 6y - z = 17\\x + 2y = 5\end{array} \right.\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 1\\3x - y - z = 4\\x + 5y + 5z = - 1\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết
a) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + z = 3\quad (1)\\ - y + z = 2\quad \quad (2)\\y + 2z = 1\quad \quad (3)\end{array} \right.\)
Cộng vế với vế của phương trình (2) với phương trình (3), giữ nguyên phương trình (1) và (2) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + z = 3\quad (1)\\ - y + z = 2\quad \quad (2)\\3z = 3\quad \quad \quad (3.1)\end{array} \right.\)
Từ phương trình (3.1) ta có \(z = 1\)
Thay \(z = 1\) vào phương trình (2) ta được \(y = - 1\)
Thay \(y = - 1\) và \(z = 1\) vào phương trình (1) ta được \(x = 0\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(\left( {0; - 1;1} \right)\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 2y - 4z = 3\quad (1)\\4x + 6y - z = 17\quad (2)\\x + 2y = 5\quad \quad \quad (3)\end{array} \right.\)
Cộng vế với vế của phương trình (1) với phương trình (3), giữ nguyên phương trình (2) và (3) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}4x - 4z = 8\quad \quad \quad (1.1)\\4x + 6y - z = 17\quad (2)\\x + 2y = 5\quad \quad \quad (3)\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình (1.1) với -1, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (1) và (3) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}4x - 4z = 8\quad \quad (1.1)\\6y + 3z = 9\quad \quad (2)\\x + 2y = 5\quad (3)\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x - z = 2\quad \quad (1.1)\\2y + z = 3\quad \quad (2)\\x + 2y = 5\quad (3)\end{array} \right.\)
Cộng vế với vế của phương trình (1) với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (1) và (3) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - z = 2\quad \quad (1.1)\\x + 2y = 5\quad (2.1)\\x + 2y = 5\quad (3)\end{array} \right.\)
Hai phương trình (2.1) và (3) giống nhau, nên có thể viết hệ phương trình thành:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - z = 2\quad \quad (1.1)\\x + 2y = 5\quad (2.1)\end{array} \right.\)
Từ phương trình (1.1), ta có \(x = z + 2\), thay vào phương trình (2.1) ta được \(z = - 2y + 3\), từ đó suy ra \(x = - 2y + 5\)
Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm dạng \(( - 2y + 5;y; - 2y + 3)\) với \(y \in \mathbb{R}\).
c) \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 1\quad (1)\\3x - y - z = 4\quad (2)\\x + 5y + 5z = - 1\quad (3)\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình (1) với -3, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (1) và (3) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 1\quad (1)\\ - 4y - 4z = 1\quad (2.1)\\x + 5y + 5z = - 1\quad (3)\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình (1) với -1, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (3), giữ nguyên phương trình (1) và (2.1) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 1\quad (1)\\ - 4y - 4z = 1\quad (2.1)\\4y + 4z = - 2\quad (3.1)\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 1\quad (1)\\4y + 4z = - 1\quad (2.1)\\4y + 4z = - 2\quad (3.1)\end{array} \right.\)
Từ phương trình (2.1) và (3.1) suy ra -1 = -2 (Vô lí)
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
a) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + z = 3\quad (1)\\ - y + z = 2\quad \quad (2)\\y + 2z = 1\quad \quad (3)\end{array} \right.\)
Cộng vế với vế của phương trình (2) với phương trình (3), giữ nguyên phương trình (1) và (2) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + z = 3\quad (1)\\ - y + z = 2\quad \quad (2)\\3z = 3\quad \quad \quad (3.1)\end{array} \right.\)
Từ phương trình (3.1) ta có \(z = 1\)
Thay \(z = 1\) vào phương trình (2) ta được \(y = - 1\)
Thay \(y = - 1\) và \(z = 1\) vào phương trình (1) ta được \(x = 0\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(\left( {0; - 1;1} \right)\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 2y - 4z = 3\quad (1)\\4x + 6y - z = 17\quad (2)\\x + 2y = 5\quad \quad \quad (3)\end{array} \right.\)
Cộng vế với vế của phương trình (1) với phương trình (3), giữ nguyên phương trình (2) và (3) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}4x - 4z = 8\quad \quad \quad (1.1)\\4x + 6y - z = 17\quad (2)\\x + 2y = 5\quad \quad \quad (3)\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình (1.1) với -1, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (1) và (3) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}4x - 4z = 8\quad \quad (1.1)\\6y + 3z = 9\quad \quad (2)\\x + 2y = 5\quad (3)\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x - z = 2\quad \quad (1.1)\\2y + z = 3\quad \quad (2)\\x + 2y = 5\quad (3)\end{array} \right.\)
Cộng vế với vế của phương trình (1) với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (1) và (3) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - z = 2\quad \quad (1.1)\\x + 2y = 5\quad (2.1)\\x + 2y = 5\quad (3)\end{array} \right.\)
Hai phương trình (2.1) và (3) giống nhau, nên có thể viết hệ phương trình thành:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - z = 2\quad \quad (1.1)\\x + 2y = 5\quad (2.1)\end{array} \right.\)
Từ phương trình (1.1), ta có \(x = z + 2\), thay vào phương trình (2.1) ta được \(z = - 2y + 3\), từ đó suy ra \(x = - 2y + 5\)
Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm dạng \(( - 2y + 5;y; - 2y + 3)\) với \(y \in \mathbb{R}\).
c) \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 1\quad (1)\\3x - y - z = 4\quad (2)\\x + 5y + 5z = - 1\quad (3)\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình (1) với -3, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (1) và (3) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 1\quad (1)\\ - 4y - 4z = 1\quad (2.1)\\x + 5y + 5z = - 1\quad (3)\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình (1) với -1, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (3), giữ nguyên phương trình (1) và (2.1) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 1\quad (1)\\ - 4y - 4z = 1\quad (2.1)\\4y + 4z = - 2\quad (3.1)\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 1\quad (1)\\4y + 4z = - 1\quad (2.1)\\4y + 4z = - 2\quad (3.1)\end{array} \right.\)
Từ phương trình (2.1) và (3.1) suy ra -1 = -2 (Vô lí)
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.