Giải bài 1 trang 40 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Phương pháp giải
Quy nạp: Chứng minh mệnh đề đúng với thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên và chứng minh mệnh đề đúng với Kết luận.
Lời giải chi tiết
a) Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với ta có
Như vậy đẳng thức đúng cho trường hợp
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với , nghĩa là có:

Ta sẽ chứng minh đẳng thức đúng với , nghĩa là cần chứng minh

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có

Vậy đẳng thức đúng với .
Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi .
b) Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với ta có
Như vậy đẳng thức đúng cho trường hợp
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với , nghĩa là có:

Ta sẽ chứng minh đẳng thức đúng với , nghĩa là cần chứng minh

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có

Vậy đẳng thức đúng với .
Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi .
c) Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp
Với ta có
Vậy đẳng thức đúng với
Giải sử đẳng thức đúng với tức là ta có
Ta chứng minh đẳng thức đúng với tức là chứng minh
Thật vậy, ta có

Vậy đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên .