Giả sử $a, b$ là các số thực sao cho $x^{3} + y^{3} = a {.10}^{3 z} + b {.10}^{2 z}$ đúng với mọi số thực dương $x, y, z$ thỏa mãn $\log (x + y) = z$ ...

The Collectors · 29/5/21

Câu hỏi: Giả sử

a, b

là các số thực sao cho

x^{3} + y^{3} = a {.10}^{3 z} + b {.10}^{2 z}

đúng với mọi số thực dương

x, y, z

thỏa mãn

\log (x + y) = z

và

\log (x^{2} + y^{2}) = z + 1

. Giá trị của

a + b

bằng:
A.

\frac{31}{2}

.
B.

\frac{29}{2}

.
C.

- \frac{31}{2}

.
D.

- \frac{25}{2}

.

Ta có:

{\begin{aligned} \log (x + y) = z \\ \log (x^{2} + y^{2}) = z + 1 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} x + y = 10^{z} \\ x^{2} + y^{2} = 10^{z + 1} = {10.10}^{z} \end{aligned} \Rightarrow x^{2} + y^{2} = 10 (x + y)

Khi đó:

x^{3} + y^{3} = a {.10}^{3 z} + b {.10}^{2 z} \Leftrightarrow (x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) = a . {(10^{z})}^{3} + b . {(10^{z})}^{2}

\begin{aligned} \Leftrightarrow (x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) = a . {(x + y)}^{3} + b . {(x + y)}^{2} \Leftrightarrow x^{2} - x y + y^{2} = a . {(x + y)}^{2} + b . (x + y) \\ \Leftrightarrow x^{2} - x y + y^{2} = a . (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + \frac{b}{10} . (x^{2} + y^{2}) \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - x y = (a + \frac{b}{10}) (x^{2} + y^{2}) + 2 a x y \end{aligned}

Đồng nhất hệ số, ta được:

{\begin{aligned} a + \frac{b}{10} = 1 \\ 2 a = - 1 \end{aligned} \Rightarrow {\begin{aligned} a = - \frac{1}{2} \\ b = 15 \end{aligned}

Vậy

a + b = \frac{29}{2}

.

Đáp án B.

Giả sử a,b là các số thực sao cho x3+y3=a.103z+b.102z đúng với mọi số thực dương x,y,z thỏa mãn log⁡(x+y)=z...