Giả sử $a,b$ là các số thực sao cho ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}=a{{.10}^{3z}}+b{{.10}^{2z}}$ đúng với mọi số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $\log (x+y)=z$...

Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \log (x+y)=z \\
& \log ({{x}^{2}}+{{y}^{2}})=z+1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x+y={{10}^{z}} \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{10}^{z+1}}={{10.10}^{z}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=10(x+y)$
Khi đó: ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}=a{{.10}^{3z}}+b{{.10}^{2z}}\Leftrightarrow (x+y)({{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}})=a.{{({{10}^{z}})}^{3}}+b.{{({{10}^{z}})}^{2}}$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow (x+y)({{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}})=a.{{(x+y)}^{3}}+b.{{(x+y)}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}=a.{{(x+y)}^{2}}+b.(x+y) \\
& \Leftrightarrow {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}=a.({{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}})+\dfrac{b}{10}.({{x}^{2}}+{{y}^{2}})\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy=(a+\dfrac{b}{10})({{x}^{2}}+{{y}^{2}})+2axy \\
\end{aligned}$
Đồng nhất hệ số, ta được: $\left\{ \begin{aligned}
& a+\dfrac{b}{10}=1 \\
& 2a=-1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-\dfrac{1}{2} \\
& b=15 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $a+b=\dfrac{29}{2}$.