Google
Câu hỏi: Đồng vị phóng xạ X có hằng số phóng xạ $\lambda_{1}$ biến thành đồng vị phóng xạ $Y$ có hằng số phóng xạ $\lambda_{2}$. Biết rằng tại thời điểm ban đầu $t=0$ mẫu X là nguyên chất, khoảng thời gian kể từ lúc đầu cho đến khi số hạt nhân $Y$ có trong mẫu chất đạt giá trị cực đại là
A. $t=\dfrac{1}{\lambda_{1}-\lambda_{2}} \cdot e^{\lambda_{1} / \lambda_{2}}$
B. $t=\dfrac{\ln \left(\lambda_{1} / \lambda_{2}\right)}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}$
C. $t=\dfrac{\ln \left(\lambda_{1} / \lambda_{2}\right)}{2 \cdot\left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right)}$
D. $t=\dfrac{2 \cdot \ln \left(\lambda_{1} / \lambda_{2}\right)}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}$
A. $t=\dfrac{1}{\lambda_{1}-\lambda_{2}} \cdot e^{\lambda_{1} / \lambda_{2}}$
B. $t=\dfrac{\ln \left(\lambda_{1} / \lambda_{2}\right)}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}$
C. $t=\dfrac{\ln \left(\lambda_{1} / \lambda_{2}\right)}{2 \cdot\left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right)}$
D. $t=\dfrac{2 \cdot \ln \left(\lambda_{1} / \lambda_{2}\right)}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}$
Phóng xạ đơn $\dfrac{d{{N}_{X}}}{dt}=-{{\lambda }_{1}}{{N}_{X}}\Rightarrow {{N}_{X}}={{N}_{0}}.{{e}^{-{{\lambda }_{1}}t}}$ (*)
Phóng xạ chuỗi $\dfrac{d{{N}_{Y}}}{dt}={{\lambda }_{1}}{{N}_{X}}-{{\lambda }_{2}}{{N}_{Y}}\Rightarrow {{N}_{Y}}=\dfrac{{{\lambda }_{1}}}{{{\lambda }_{2}}-{{\lambda }_{1}}}{{N}_{0}}\left( {{e}^{-{{\lambda }_{1}}t}}-{{e}^{-{{\lambda }_{2}}t}} \right)$ (**)
${{N}_{Y\max }}$ thì $\dfrac{d{{N}_{Y}}}{dt}={{N}_{Y}}'=0\to {{\lambda }_{1}}.{{e}^{-{{\lambda }_{1}}t}}-{{\lambda }_{2}}.{{e}^{-{{\lambda }_{2}}t}}=0\Rightarrow {{e}^{{{\lambda }_{1}}t-{{\lambda }_{2}}t}}=\dfrac{{{\lambda }_{1}}}{{{\lambda }_{2}}}\Rightarrow t=\dfrac{\ln \left( {{\lambda }_{1}}/{{\lambda }_{2}} \right)}{{{\lambda }_{1}}-{{\lambda }_{2}}}$.
Note: Đây là dạng phóng xạ chuỗi: Trong lúc X phóng xạ biến thành Y thì Y lại phóng xạ biến thành Z
Công thức (*) chứng minh như sau
$\dfrac{d{{N}_{X}}}{{{N}_{X}}}=-{{\lambda }_{1}}dt\Rightarrow \int\limits_{{{N}_{0}}}^{{{N}_{X}}}{\dfrac{d{{N}_{X}}}{{{N}_{X}}}=}\int\limits_{0}^{t}{-{{\lambda }_{1}}dt}\Rightarrow \ln \dfrac{{{N}_{X}}}{{{N}_{0}}}=-{{\lambda }_{1}}t\Rightarrow {{N}_{X}}={{N}_{0}}.{{e}^{-{{\lambda }_{1}}t}}$
Công thức (**) chứng minh như sau (phương trình vi phân tuyến tính cấp 1):
${{N}_{Y}}'+{{\lambda }_{2}}{{N}_{Y}}={{\lambda }_{1}}{{N}_{X}}\Rightarrow {{N}_{Y}}'{{e}^{{{\lambda }_{2}}t}}+{{\lambda }_{2}}{{e}^{{{\lambda }_{2}}t}}{{N}_{Y}}={{\lambda }_{1}}{{N}_{X}}{{e}^{{{\lambda }_{2}}t}}\Rightarrow \left( {{N}_{Y}}.{{e}^{{{\lambda }_{2}}t}} \right)'={{\lambda }_{1}}{{N}_{0}}.{{e}^{{{\lambda }_{2}}t-{{\lambda }_{1}}t}}$
$\Rightarrow {{N}_{Y}}.{{e}^{{{\lambda }_{2}}t}}={{\lambda }_{1}}{{N}_{0}}\int\limits_{0}^{t}{{{e}^{{{\lambda }_{2}}t-{{\lambda }_{1}}t}}dt}=\dfrac{{{\lambda }_{1}}}{{{\lambda }_{2}}-{{\lambda }_{1}}}{{N}_{0}}\left( {{e}^{{{\lambda }_{2}}t-{{\lambda }_{1}}t}}-1 \right)$
$\Rightarrow {{N}_{Y}}=\dfrac{{{\lambda }_{1}}}{{{\lambda }_{2}}-{{\lambda }_{1}}}{{N}_{0}}\left( {{e}^{-{{\lambda }_{1}}t}}-{{e}^{-{{\lambda }_{2}}t}} \right)$
Phóng xạ chuỗi $\dfrac{d{{N}_{Y}}}{dt}={{\lambda }_{1}}{{N}_{X}}-{{\lambda }_{2}}{{N}_{Y}}\Rightarrow {{N}_{Y}}=\dfrac{{{\lambda }_{1}}}{{{\lambda }_{2}}-{{\lambda }_{1}}}{{N}_{0}}\left( {{e}^{-{{\lambda }_{1}}t}}-{{e}^{-{{\lambda }_{2}}t}} \right)$ (**)
${{N}_{Y\max }}$ thì $\dfrac{d{{N}_{Y}}}{dt}={{N}_{Y}}'=0\to {{\lambda }_{1}}.{{e}^{-{{\lambda }_{1}}t}}-{{\lambda }_{2}}.{{e}^{-{{\lambda }_{2}}t}}=0\Rightarrow {{e}^{{{\lambda }_{1}}t-{{\lambda }_{2}}t}}=\dfrac{{{\lambda }_{1}}}{{{\lambda }_{2}}}\Rightarrow t=\dfrac{\ln \left( {{\lambda }_{1}}/{{\lambda }_{2}} \right)}{{{\lambda }_{1}}-{{\lambda }_{2}}}$.
Note: Đây là dạng phóng xạ chuỗi: Trong lúc X phóng xạ biến thành Y thì Y lại phóng xạ biến thành Z
Công thức (*) chứng minh như sau
$\dfrac{d{{N}_{X}}}{{{N}_{X}}}=-{{\lambda }_{1}}dt\Rightarrow \int\limits_{{{N}_{0}}}^{{{N}_{X}}}{\dfrac{d{{N}_{X}}}{{{N}_{X}}}=}\int\limits_{0}^{t}{-{{\lambda }_{1}}dt}\Rightarrow \ln \dfrac{{{N}_{X}}}{{{N}_{0}}}=-{{\lambda }_{1}}t\Rightarrow {{N}_{X}}={{N}_{0}}.{{e}^{-{{\lambda }_{1}}t}}$
Công thức (**) chứng minh như sau (phương trình vi phân tuyến tính cấp 1):
${{N}_{Y}}'+{{\lambda }_{2}}{{N}_{Y}}={{\lambda }_{1}}{{N}_{X}}\Rightarrow {{N}_{Y}}'{{e}^{{{\lambda }_{2}}t}}+{{\lambda }_{2}}{{e}^{{{\lambda }_{2}}t}}{{N}_{Y}}={{\lambda }_{1}}{{N}_{X}}{{e}^{{{\lambda }_{2}}t}}\Rightarrow \left( {{N}_{Y}}.{{e}^{{{\lambda }_{2}}t}} \right)'={{\lambda }_{1}}{{N}_{0}}.{{e}^{{{\lambda }_{2}}t-{{\lambda }_{1}}t}}$
$\Rightarrow {{N}_{Y}}.{{e}^{{{\lambda }_{2}}t}}={{\lambda }_{1}}{{N}_{0}}\int\limits_{0}^{t}{{{e}^{{{\lambda }_{2}}t-{{\lambda }_{1}}t}}dt}=\dfrac{{{\lambda }_{1}}}{{{\lambda }_{2}}-{{\lambda }_{1}}}{{N}_{0}}\left( {{e}^{{{\lambda }_{2}}t-{{\lambda }_{1}}t}}-1 \right)$
$\Rightarrow {{N}_{Y}}=\dfrac{{{\lambda }_{1}}}{{{\lambda }_{2}}-{{\lambda }_{1}}}{{N}_{0}}\left( {{e}^{-{{\lambda }_{1}}t}}-{{e}^{-{{\lambda }_{2}}t}} \right)$
Đáp án B.