Google
minhanh2017
New Member
Biết $A$, $B$ là hai điểm di động trên Parabol $(P): f(x) = -x^2 + 2x + 2$ và đường thẳng $\Delta: y = 2x + 6$ (tham khảo hình bên). Độ dài $AB$ nhỏ nhất bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Lời giảiGọi $M(x_0; y_0) \in (P)$ và $d$ là tiếp tuyến của $(P)$ tại $M$ có phương song song với $\Delta$. Khi đó $AB_{\min} = d[d, \Delta]$. Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến của $(P)$ tại $M$ là
$k = y'(x_0) = -2x_0 + 2.$
Tiếp tuyến này song song với $\Delta$ nên suy ra $k = 2 \Leftrightarrow -2x_0 + 2 = 2 \Leftrightarrow x_0 = 0$.
Suy ra phương trình tiếp tuyến $d: y = 2(x-0) + 2 = 2x + 2$.
Vậy $AB_{\min} = d[d,\Delta] = d[M(0;2), \Delta] = \dfrac{|4|}{\sqrt{4+1}} = \dfrac{4}{\sqrt{5}} \approx 1,79$.
Nhận xét. Điểm $A \equiv M(0;2)$ và $B$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $\Delta$.
Lời giải
$k = y'(x_0) = -2x_0 + 2.$
Tiếp tuyến này song song với $\Delta$ nên suy ra $k = 2 \Leftrightarrow -2x_0 + 2 = 2 \Leftrightarrow x_0 = 0$.
Suy ra phương trình tiếp tuyến $d: y = 2(x-0) + 2 = 2x + 2$.
Vậy $AB_{\min} = d[d,\Delta] = d[M(0;2), \Delta] = \dfrac{|4|}{\sqrt{4+1}} = \dfrac{4}{\sqrt{5}} \approx 1,79$.
Nhận xét. Điểm $A \equiv M(0;2)$ và $B$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $\Delta$.