Google
Câu hỏi: Diện tích mặt cầu ngoại tiếp một tứ diện đều cạnh $a$ là
A. $\dfrac{3\pi {{a}^{2}}}{2}.$
B. $\dfrac{12\pi {{a}^{2}}}{11}.$
C. $\dfrac{2\pi {{a}^{2}}}{3}.$
D. $\dfrac{11\pi {{a}^{2}}}{12}.$
Xét tứ diện đều $S.ABC.$ Gọi $H$ là trọng tâm của $\Delta ABC,M$ là trung điểm của $SA,I$ là giao điểm của $SH$ và mặt phẳng trung trực của $SA\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $S.ABC.$
$AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\Rightarrow R=SI=\dfrac{S{{A}^{2}}}{2SH}=\dfrac{3a}{2\sqrt{6}}.$
Vậy diện tích mặt cầu là $4.\pi .{{\left( \dfrac{3a}{2\sqrt{6}} \right)}^{2}}=\dfrac{3\pi {{a}^{2}}}{2}.$
A. $\dfrac{3\pi {{a}^{2}}}{2}.$
B. $\dfrac{12\pi {{a}^{2}}}{11}.$
C. $\dfrac{2\pi {{a}^{2}}}{3}.$
D. $\dfrac{11\pi {{a}^{2}}}{12}.$
Xét tứ diện đều $S.ABC.$ Gọi $H$ là trọng tâm của $\Delta ABC,M$ là trung điểm của $SA,I$ là giao điểm của $SH$ và mặt phẳng trung trực của $SA\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $S.ABC.$
$AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\Rightarrow R=SI=\dfrac{S{{A}^{2}}}{2SH}=\dfrac{3a}{2\sqrt{6}}.$
Vậy diện tích mặt cầu là $4.\pi .{{\left( \dfrac{3a}{2\sqrt{6}} \right)}^{2}}=\dfrac{3\pi {{a}^{2}}}{2}.$
Đáp án A.