Google
Câu hỏi: Đặt một điện áp $u=U\sqrt{2}c\omega t \left( V \right)$ (U và ω không đổi) vào hai đầu đoạn mạch như hình vẽ.
Biết $Z{{~}_{L}}=R~\sqrt{3}$. Điều chỉnh $C=C{{~}_{1}}~$ thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện đạt cực đại và hệ số công suất trong mạch là $\cos {{\varphi }_{1}}$. Điều chỉnh $C={{C}_{2}}$ để tổng điện áp hiệu dụng $U{{~}_{AM}}+{{U}_{MB}}~~$ đạt giá trị cực đại thì hệ số công suất trong mạch là $\cos {{\varphi }_{2}}$. Khi $C={{C}_{3}}$ thì hệ số công suất của mạch là $\cos {{\varphi }_{3}}~=\cos {{\varphi }_{1}}.\cos {{\varphi }_{2}}~~$ và cường độ dòng điện trong mạch chậm pha hơn điện áp hai đầu đoạn mạch, khi đó tỉ số giữa điện trở thuần và dung kháng của tụ điện gần nhất với giá trị nào sau đây?
A. 0,42
B. 0,92
C. 2,37
D. 1,08
Biết $Z{{~}_{L}}=R~\sqrt{3}$. Điều chỉnh $C=C{{~}_{1}}~$ thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện đạt cực đại và hệ số công suất trong mạch là $\cos {{\varphi }_{1}}$. Điều chỉnh $C={{C}_{2}}$ để tổng điện áp hiệu dụng $U{{~}_{AM}}+{{U}_{MB}}~~$ đạt giá trị cực đại thì hệ số công suất trong mạch là $\cos {{\varphi }_{2}}$. Khi $C={{C}_{3}}$ thì hệ số công suất của mạch là $\cos {{\varphi }_{3}}~=\cos {{\varphi }_{1}}.\cos {{\varphi }_{2}}~~$ và cường độ dòng điện trong mạch chậm pha hơn điện áp hai đầu đoạn mạch, khi đó tỉ số giữa điện trở thuần và dung kháng của tụ điện gần nhất với giá trị nào sau đây?
A. 0,42
B. 0,92
C. 2,37
D. 1,08
Phương pháp:
Áp dụng hệ quả điện áp hai đầu tụ điện đạt cực đại.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia – côp – xki để tìm cực trị.
Cách giải:
Ta chuẩn hóa $R=1\Rightarrow {{Z}_{L}}=\sqrt{3}$
Khi $C={{C}_{1}}$, điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện đạt cực đại, khi đó ta có:
$\cos {{\varphi }_{1}}=\sin {{\varphi }_{RL}}=\dfrac{{{Z}_{L}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{Z}_{L}}^{2}}}\Rightarrow \cos {{\varphi }_{1}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
Khi $C{{=}_{2}},\left( {{U}_{AM}}+{{U}_{MB}} \right)\max $, áp dụng bất đẳng thức Bunhia – côp – xki ta có: $\left( {{U}_{AM}}^{2}+{{U}_{MB}}^{2} \right)\left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\ge \left( {{U}_{AM}}.1+{{U}_{MB}}.1 \right)$
$\Rightarrow \left( {{U}_{AM}}+{{U}_{MB}} \right)$ $\le \sqrt{\left( {{U}_{AM}}^{2}+{{U}_{MB}}^{2} \right)\left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)}$
(dấu "=" xảy ra ⇔ ${{U}_{AM}}={{U}_{MB}}$ )
Vậy để $\left( {{U}_{AM}}+{{U}_{MB}} \right)$ max ⇔ ${{U}_{AM}}={{U}_{MB}}$
$\begin{array}{*{35}{l}}
\Rightarrow {{\text{Z}}_{AM}}={{Z}_{MB}}\Rightarrow \sqrt{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}={{Z}_{C2}}~\Rightarrow {{Z}_{C2}}=2 \\
~ \\
\end{array}$
Hệ số công suất của mạch lúc này là:
$\cos {{\varphi }_{2}}=\dfrac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{{{C}_{2}}}} \right)}^{2}}}}=\dfrac{1}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( \sqrt{3}-2 \right)}^{2}}}}=0,966$
Khi $C={{C}_{3}}$ thì dòng điện trong mạch sớm pha hơn điện áp ⇒ ${{Z}_{C3}}>{{Z}_{L}}$, mạch có tính dung kháng. Hệ số công suất khi đó:
$\cos {{\varphi }_{3}}=\dfrac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{{{C}_{3}}}} \right)}^{2}}}}\cos {{\varphi }_{1}}.\cos {{\varphi }_{2}}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( \sqrt{3}-{{Z}_{{{C}_{3}}}} \right)}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.0,966\Rightarrow {{Z}_{{{C}_{3}}}}=1.077\Rightarrow \dfrac{R}{{{Z}_{{{C}_{3}}}}}=\dfrac{1}{1,077}\approx 0,928$
Áp dụng hệ quả điện áp hai đầu tụ điện đạt cực đại.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia – côp – xki để tìm cực trị.
Cách giải:
Ta chuẩn hóa $R=1\Rightarrow {{Z}_{L}}=\sqrt{3}$
Khi $C={{C}_{1}}$, điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện đạt cực đại, khi đó ta có:
$\cos {{\varphi }_{1}}=\sin {{\varphi }_{RL}}=\dfrac{{{Z}_{L}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{Z}_{L}}^{2}}}\Rightarrow \cos {{\varphi }_{1}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
Khi $C{{=}_{2}},\left( {{U}_{AM}}+{{U}_{MB}} \right)\max $, áp dụng bất đẳng thức Bunhia – côp – xki ta có: $\left( {{U}_{AM}}^{2}+{{U}_{MB}}^{2} \right)\left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\ge \left( {{U}_{AM}}.1+{{U}_{MB}}.1 \right)$
$\Rightarrow \left( {{U}_{AM}}+{{U}_{MB}} \right)$ $\le \sqrt{\left( {{U}_{AM}}^{2}+{{U}_{MB}}^{2} \right)\left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)}$
(dấu "=" xảy ra ⇔ ${{U}_{AM}}={{U}_{MB}}$ )
Vậy để $\left( {{U}_{AM}}+{{U}_{MB}} \right)$ max ⇔ ${{U}_{AM}}={{U}_{MB}}$
$\begin{array}{*{35}{l}}
\Rightarrow {{\text{Z}}_{AM}}={{Z}_{MB}}\Rightarrow \sqrt{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}={{Z}_{C2}}~\Rightarrow {{Z}_{C2}}=2 \\
~ \\
\end{array}$
Hệ số công suất của mạch lúc này là:
$\cos {{\varphi }_{2}}=\dfrac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{{{C}_{2}}}} \right)}^{2}}}}=\dfrac{1}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( \sqrt{3}-2 \right)}^{2}}}}=0,966$
Khi $C={{C}_{3}}$ thì dòng điện trong mạch sớm pha hơn điện áp ⇒ ${{Z}_{C3}}>{{Z}_{L}}$, mạch có tính dung kháng. Hệ số công suất khi đó:
$\cos {{\varphi }_{3}}=\dfrac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{{{C}_{3}}}} \right)}^{2}}}}\cos {{\varphi }_{1}}.\cos {{\varphi }_{2}}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( \sqrt{3}-{{Z}_{{{C}_{3}}}} \right)}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.0,966\Rightarrow {{Z}_{{{C}_{3}}}}=1.077\Rightarrow \dfrac{R}{{{Z}_{{{C}_{3}}}}}=\dfrac{1}{1,077}\approx 0,928$
Đáp án B.