Google
Câu hỏi: Đặt điện áp xoay chiều ${{u}_{AB}}=U\sqrt{2}\cos \omega t$ (U và ω không đổi) vào hai đầu đoạn mạch như hình vẽ (H.3). Điện dung C của tụ điện thay đổi được. Gọi độ lớn của độ lệch pha giữa điện áp ${{u}_{\text{MB }}}\text{ v }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }{{u}_{\text{AB }}}\text{ l }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }\Delta \varphi $ ; độ lớn của độ lệch pha giữa điện áp ${{u}_{AB}}$ và cường độ dòng điện là $\varphi $. Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của $\Delta \varphi $ vào $\varphi $ như hình vẽ (H.4). Khi $\Delta \varphi $ đạt giá trị cực đại thì tỉ số điện áp hiệu dụng $\dfrac{U}{{{U}_{AM}}}$ gần nhấtvới giá trị nào sau đây?
A. 2,35.
B. 1,35.
C. 1,69.
D. 1,98.
A. 2,35.
B. 1,35.
C. 1,69.
D. 1,98.
Phương pháp:
Độ lệch pha giữa điện áp và cường độ dòng điện: $\tan \varphi =\dfrac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{R+r}$
Công thức lượng giác: $\tan (a-b)=\dfrac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}$
Sử dụng phương pháp chuẩn hóa số liệu
Bất đẳng thức Cô – si: $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ (dấu "=" xảy ra ⇔ a = b)
Cách giải:
Độ lệch pha giữa uAB và cường độ dòng điện là: $\varphi ={{\varphi }_{AB}}-{{\varphi }_{i}}$
Lại có: ${{\varphi }_{MB}}-{{\varphi }_{AB}}=\Delta \varphi \Rightarrow {{\varphi }_{MB}}-{{\varphi }_{i}}=\varphi +\Delta \varphi $
Từ đồ thị ta thấy với $\varphi ={{45}^{0}}\Rightarrow \Delta \varphi =26,{{57}^{0}}$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\tan {{45}^{0}}=\dfrac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{R+r}=1 \\
\tan \left( {{45}^{{}^\circ }}+26,{{57}^{0}} \right)=\dfrac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{r}=3 \\
\end{array}\Rightarrow \dfrac{r}{R+r}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow R=2r \right.$
Chuẩn hóa $r=1\Rightarrow R=2$
Lại có:
$\Delta \varphi ={{\varphi }_{MB}}-{{\varphi }_{AB}}\Rightarrow \tan \Delta \varphi =\tan \left( {{\varphi }_{MB}}-{{\varphi }_{AB}} \right)=\dfrac{\tan {{\varphi }_{MB}}-\tan {{\varphi }_{AB}}}{1+\tan {{\varphi }_{MB}}\tan {{\varphi }_{AB}}}$
$\Rightarrow \tan \Delta \varphi =\dfrac{\dfrac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{r}-\dfrac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{R+r}}{1+\dfrac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{r}\cdot \dfrac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{R+r}}=\dfrac{R\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}{r(R+r)+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}=\dfrac{2{{Z}_{LC}}}{3+{{Z}_{LC}}^{2}}$
Đặt ${{Z}_{LC}}=x\Rightarrow {{f}_{(x)}}=\tan \Delta \varphi =\dfrac{2x}{3+{{x}^{2}}}=\dfrac{2}{\dfrac{3}{x}+x}$
Để ${{(\Delta \varphi )}_{\max }}\Rightarrow {{(\tan \Delta \varphi )}_{\max }}\Rightarrow {{f}_{(x)\max }}\Rightarrow {{\left( \dfrac{3}{x}+x \right)}_{\min }}$
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có:
$\dfrac{3}{x}+x\ge 2\sqrt{\dfrac{3}{x}\cdot x}=2\sqrt{3}$
$\Rightarrow {{\left( \dfrac{3}{x}+x \right)}_{\min }}\Leftrightarrow \dfrac{3}{x}=x\Rightarrow x=\sqrt{3}={{Z}_{LC}}$
$\Rightarrow Z=\sqrt{{{(R+r)}^{2}}+{{Z}_{LC}}^{2}}=\sqrt{{{(2+1)}^{2}}+{{(\sqrt{3})}^{2}}}=\sqrt{12}$
Ta có tỉ số: $\dfrac{U}{{{U}_{AM}}}=\dfrac{Z}{R}=\dfrac{\sqrt{12}}{2}=\sqrt{3}\approx 1,73$
Tỉ số $\dfrac{U}{{{U}_{AM}}}$ có giá trị gần nhất với 1,69
Độ lệch pha giữa điện áp và cường độ dòng điện: $\tan \varphi =\dfrac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{R+r}$
Công thức lượng giác: $\tan (a-b)=\dfrac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}$
Sử dụng phương pháp chuẩn hóa số liệu
Bất đẳng thức Cô – si: $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ (dấu "=" xảy ra ⇔ a = b)
Cách giải:
Độ lệch pha giữa uAB và cường độ dòng điện là: $\varphi ={{\varphi }_{AB}}-{{\varphi }_{i}}$
Lại có: ${{\varphi }_{MB}}-{{\varphi }_{AB}}=\Delta \varphi \Rightarrow {{\varphi }_{MB}}-{{\varphi }_{i}}=\varphi +\Delta \varphi $
Từ đồ thị ta thấy với $\varphi ={{45}^{0}}\Rightarrow \Delta \varphi =26,{{57}^{0}}$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\tan {{45}^{0}}=\dfrac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{R+r}=1 \\
\tan \left( {{45}^{{}^\circ }}+26,{{57}^{0}} \right)=\dfrac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{r}=3 \\
\end{array}\Rightarrow \dfrac{r}{R+r}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow R=2r \right.$
Chuẩn hóa $r=1\Rightarrow R=2$
Lại có:
$\Delta \varphi ={{\varphi }_{MB}}-{{\varphi }_{AB}}\Rightarrow \tan \Delta \varphi =\tan \left( {{\varphi }_{MB}}-{{\varphi }_{AB}} \right)=\dfrac{\tan {{\varphi }_{MB}}-\tan {{\varphi }_{AB}}}{1+\tan {{\varphi }_{MB}}\tan {{\varphi }_{AB}}}$
$\Rightarrow \tan \Delta \varphi =\dfrac{\dfrac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{r}-\dfrac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{R+r}}{1+\dfrac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{r}\cdot \dfrac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{R+r}}=\dfrac{R\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}{r(R+r)+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}=\dfrac{2{{Z}_{LC}}}{3+{{Z}_{LC}}^{2}}$
Đặt ${{Z}_{LC}}=x\Rightarrow {{f}_{(x)}}=\tan \Delta \varphi =\dfrac{2x}{3+{{x}^{2}}}=\dfrac{2}{\dfrac{3}{x}+x}$
Để ${{(\Delta \varphi )}_{\max }}\Rightarrow {{(\tan \Delta \varphi )}_{\max }}\Rightarrow {{f}_{(x)\max }}\Rightarrow {{\left( \dfrac{3}{x}+x \right)}_{\min }}$
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có:
$\dfrac{3}{x}+x\ge 2\sqrt{\dfrac{3}{x}\cdot x}=2\sqrt{3}$
$\Rightarrow {{\left( \dfrac{3}{x}+x \right)}_{\min }}\Leftrightarrow \dfrac{3}{x}=x\Rightarrow x=\sqrt{3}={{Z}_{LC}}$
$\Rightarrow Z=\sqrt{{{(R+r)}^{2}}+{{Z}_{LC}}^{2}}=\sqrt{{{(2+1)}^{2}}+{{(\sqrt{3})}^{2}}}=\sqrt{12}$
Ta có tỉ số: $\dfrac{U}{{{U}_{AM}}}=\dfrac{Z}{R}=\dfrac{\sqrt{12}}{2}=\sqrt{3}\approx 1,73$
Tỉ số $\dfrac{U}{{{U}_{AM}}}$ có giá trị gần nhất với 1,69
Đáp án C.