Google
Câu hỏi: Đặt điện áp xoay chiều có biểu thức $u=U\sqrt{2}\cos 2\pi f$ (U không đổi, f có thể thay đổi được) vào hai đầu đoạn mạch RLC mắc nối tiếp. Khi cho f = f0 thì điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ là U. Khi cho f = f0 + 75 Hz thì điện áp giữa hai đầu cuộn cảm thuần cũng bằng U và hệ số công suất của mạch lúc này bằng $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$. F0 gần với giá trị nào dưới đây nhất?
A. 50 Hz.
B. 15 Hz.
C. 17 Hz.
D. 25 Hz.
A. 50 Hz.
B. 15 Hz.
C. 17 Hz.
D. 25 Hz.
Xét trườnq hợp: $2 \mathrm{~L}>R^{2} \mathrm{C}$.
Ta có các kết quả sau đây để tính nhanh
Kết quả 1: Khi $U_{L}=U$ thì $\omega_{1}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{1}{C Z_{\tau}} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}Z_{L 1}=\sqrt{2} Z_{\tau} \\ Z_{L 1}=\omega_{1} L=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \dfrac{L}{C Z_{\tau}}=Z_{1}\end{array}\right.$
Chứng minh:
Từ $\mathrm{U}_{\mathrm{L}}=\mathrm{U} \Leftrightarrow \mathrm{Z}_{\mathrm{L} 1}=\mathrm{Z}_{1} \Leftrightarrow \mathrm{Z}_{\mathrm{L} 1}^{2}=\mathrm{R}^{2}+\left(\mathrm{Z}_{\mathrm{L} 1}-\mathrm{Z}_{\mathrm{C} 1}\right)^{2}$
$$\Rightarrow Z_{\mathrm{C} 1}=\sqrt{2} \sqrt{Z_{\mathrm{L} 1} Z_{\mathrm{C} 1}-\dfrac{\mathrm{R}^{2}}{2}}=\sqrt{2} \sqrt{\dfrac{\mathrm{L}}{\mathrm{C}}-\dfrac{\mathrm{R}^{2}}{2}}=\sqrt{2} Z_{\tau} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
\omega_{1}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \dfrac{1}{\mathrm{C} Z_{\tau}} \\
Z_{\mathrm{L} 1}=\omega_{1} \mathrm{~L}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \dfrac{\mathrm{L}}{\mathrm{CZ}_{\tau}}
\end{array}\right.$$
Kết quả 2: $U_{C}=U$ thì $\omega_{2}=\sqrt{2} \dfrac{Z_{\tau}}{L} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}Z_{L 2}=\sqrt{2} Z_{\tau} \\ Z_{C 2}=\dfrac{1}{\omega_{2} C}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \dfrac{L}{C} \dfrac{1}{Z_{\tau}}=Z_{2}\end{array}\right.$
Chứng minh:
Tù $\mathrm{U}_{\mathrm{C}}=\mathrm{U} \Rightarrow \mathrm{Z}_{\mathrm{C} 1}=\mathrm{Z}_{2} \Leftrightarrow \mathrm{Z}_{\mathrm{C} 2}^{2}=\mathrm{R}^{2}+\left(\mathrm{Z}_{\mathrm{L} 2}-\mathrm{Z}_{\mathrm{C} 2}\right)^{2}$
$$\Rightarrow Z_{L 2}=\sqrt{2} \sqrt{Z_{L} Z_{C 2}-\dfrac{R^{2}}{2}}=\sqrt{2} \sqrt{\dfrac{L}{C}-\dfrac{R^{2}}{2}}=\sqrt{2} Z_{\tau} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
\omega_{2}=\sqrt{2} \dfrac{Z_{\tau}}{L} \\
Z_{C 2}=\dfrac{1}{\omega_{2} C}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{L}{C} \cdot \dfrac{1}{Z_{\tau}}
\end{array}\right.$$
Chú ý: Ta nhận thấy $\omega_{2}$ có thể lớn hơn hoặc nhỏ hơn $\omega_{1}$ tùy trường hợp.
$ \omega_{1}<\omega_{2} \Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2}} \dfrac{1}{\mathrm{CZ}_{\tau}}<\sqrt{2} \dfrac{\mathrm{Z}_{\tau}}{\mathrm{L}} \Leftrightarrow 2 \mathrm{Z}_{\tau}^{2}>\dfrac{\mathrm{L}}{\mathrm{C}} \Leftrightarrow 2\left(\dfrac{\mathrm{L}}{\mathrm{C}}-\dfrac{\mathrm{R}^{2}}{2}\right)>\dfrac{\mathrm{L}}{\mathrm{C}} \Rightarrow \dfrac{\mathrm{L}}{\mathrm{C}}>\mathrm{R}^{2}$
$ \omega_{1}>\omega_{2} \Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2}} \dfrac{1}{\mathrm{CZ}_{\tau}}<\sqrt{2} \dfrac{\mathrm{Z}_{\tau}}{\mathrm{L}} \Leftrightarrow 2 \mathrm{Z}_{\tau}^{2}<\dfrac{\mathrm{L}}{\mathrm{C}} \Leftrightarrow 2\left(\dfrac{\mathrm{L}}{\mathrm{C}}-\dfrac{\mathrm{R}^{2}}{2}\right)<\dfrac{\mathrm{L}}{\mathrm{C}} \Rightarrow \sqrt{\dfrac{\mathrm{L}}{\mathrm{C}}<\mathrm{R}^{2}}$
Kết quả 3: Chuẩn hóa các trường hợp:
Đặt $\dfrac{Z_{L 1}}{Z_{C 1}}=\dfrac{Z_{C 2}}{Z_{L 2}}=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2}} \dfrac{L}{C Z_{\tau}}}{\sqrt{2} Z_{\tau}}=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{1}{C Z_{\tau}}}{\sqrt{2} \dfrac{Z_{\tau}}{L}}=\dfrac{\omega_{1}}{\omega_{2}}=\dfrac{1}{2-\dfrac{R^{2} C}{L}}=m$
$*$ Khi $U_{L}=U,$ chuẩn hóa $Z_{C}=1; Z_{L}=m; R=\sqrt{2 m-1}$
$*$ Khi $U_{Cc}=U,$ chuẩn hóa $Z_{L}=1; Z_{C}=m; R=\sqrt{2 m-1}$
Quay trở lại bài toán.
Cách 1:
Khi cho f = f0 + 75 Hz thì điện áp giữa hai đầu cuộn cảm thuần cũng bằng U thì chuẩn hóa $Z_{C}=1; Z_{L}=m; R=\sqrt{2 m-1}$
Hệ số công suất lúc đó là
$\cos \varphi =\dfrac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{2m-1}}{\sqrt{2m-1+{{\left(m-1 \right)}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{2m-1}}{m}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow m=3\pm \sqrt{6}$
Với $m=\dfrac{{{\omega }_{1}}}{{{\omega }_{2}}}=\dfrac{{{f}_{1}}}{{{f}_{2}}}=\dfrac{{{f}_{0}}+75}{{{f}_{0}}}>1\Rightarrow 3+\sqrt{6}=\dfrac{{{f}_{0}}+75}{{{f}_{0}}}\Rightarrow {{f}_{0}}\approx 16,86$ (Hz)
Cách 2:
Khi tần số của mạch bằng $f_0$ thì $Z_{C_{o}}=\sqrt{R^{2}+\left(Z_{L_{o}}-Z_{C_{o}}\right)^{2}} \Rightarrow Z_{L_{o}}^{2}=2 Z_{L_{o}} Z_{C_{o}}-R^{2}=\dfrac{2 L}{C}-R^{2}\left(1\right)$
Khi tần số của mạch bằng $\mathrm{f}=\mathrm{f}_{0}+75$ th
$U_{L}=U \Rightarrow Z_{L}=\sqrt{R^{2}+\left(Z_{L}-Z_{C}\right)^{2}} \Rightarrow Z_{C}=2 Z_{L} Z_{C}-R^{2}=\dfrac{2 L}{C}-R^{2}\left(2\right)$ Từ (1)
$\Rightarrow Z_{L_{o}}=Z_{C} \Rightarrow \omega_{o} L=\dfrac{1}{C \omega} \Rightarrow \omega \omega_{o}=\dfrac{1}{L C}\left(3\right)$
Ta lại có: Từ $\left(1\right) \Rightarrow Z_{L_{o}}^{2}=\dfrac{2 L}{C}-R^{2} \Rightarrow \omega_{o}^{2} L^{2}=\dfrac{2 L}{C}-R^{2} \Rightarrow \omega_{o}^{2}=2 L C-\dfrac{R^{2}}{L^{2}}\left(5\right)$
Thế (3) và
(4) vào (5) $\omega_{o}^{2}=2 \omega \omega_{o}-\dfrac{\omega^{2}}{3} \Rightarrow 3 \omega_{o}^{2}-6 \omega \omega_{o}+\omega^{2}=0$
Hay $3 f_{o}^{2}-6 f f_{o}+f^{2}=0 \Rightarrow 3 f_{o}^{2}-6\left(f_{o}+f_{1}\right) f_{o}+\left(f_{o}+f_{1}\right)^{2} \Rightarrow 2 f_{o}^{2}+4 f_{1} f_{o}=0\left(6\right)$ vói
$f_{1}=75 H z$ phương trình (6) có nghiệm $f_{o}=\dfrac{-2 f_{1} \pm f_{1} \sqrt{6}}{2}$
Loại nghiệm âm ta có $\mathrm{f}_{\mathrm{o}}=16,86 \mathrm{~Hz}$
Ta có các kết quả sau đây để tính nhanh
Kết quả 1: Khi $U_{L}=U$ thì $\omega_{1}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{1}{C Z_{\tau}} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}Z_{L 1}=\sqrt{2} Z_{\tau} \\ Z_{L 1}=\omega_{1} L=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \dfrac{L}{C Z_{\tau}}=Z_{1}\end{array}\right.$
Chứng minh:
Từ $\mathrm{U}_{\mathrm{L}}=\mathrm{U} \Leftrightarrow \mathrm{Z}_{\mathrm{L} 1}=\mathrm{Z}_{1} \Leftrightarrow \mathrm{Z}_{\mathrm{L} 1}^{2}=\mathrm{R}^{2}+\left(\mathrm{Z}_{\mathrm{L} 1}-\mathrm{Z}_{\mathrm{C} 1}\right)^{2}$
$$\Rightarrow Z_{\mathrm{C} 1}=\sqrt{2} \sqrt{Z_{\mathrm{L} 1} Z_{\mathrm{C} 1}-\dfrac{\mathrm{R}^{2}}{2}}=\sqrt{2} \sqrt{\dfrac{\mathrm{L}}{\mathrm{C}}-\dfrac{\mathrm{R}^{2}}{2}}=\sqrt{2} Z_{\tau} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
\omega_{1}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \dfrac{1}{\mathrm{C} Z_{\tau}} \\
Z_{\mathrm{L} 1}=\omega_{1} \mathrm{~L}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \dfrac{\mathrm{L}}{\mathrm{CZ}_{\tau}}
\end{array}\right.$$
Kết quả 2: $U_{C}=U$ thì $\omega_{2}=\sqrt{2} \dfrac{Z_{\tau}}{L} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}Z_{L 2}=\sqrt{2} Z_{\tau} \\ Z_{C 2}=\dfrac{1}{\omega_{2} C}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \dfrac{L}{C} \dfrac{1}{Z_{\tau}}=Z_{2}\end{array}\right.$
Chứng minh:
Tù $\mathrm{U}_{\mathrm{C}}=\mathrm{U} \Rightarrow \mathrm{Z}_{\mathrm{C} 1}=\mathrm{Z}_{2} \Leftrightarrow \mathrm{Z}_{\mathrm{C} 2}^{2}=\mathrm{R}^{2}+\left(\mathrm{Z}_{\mathrm{L} 2}-\mathrm{Z}_{\mathrm{C} 2}\right)^{2}$
$$\Rightarrow Z_{L 2}=\sqrt{2} \sqrt{Z_{L} Z_{C 2}-\dfrac{R^{2}}{2}}=\sqrt{2} \sqrt{\dfrac{L}{C}-\dfrac{R^{2}}{2}}=\sqrt{2} Z_{\tau} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
\omega_{2}=\sqrt{2} \dfrac{Z_{\tau}}{L} \\
Z_{C 2}=\dfrac{1}{\omega_{2} C}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{L}{C} \cdot \dfrac{1}{Z_{\tau}}
\end{array}\right.$$
Chú ý: Ta nhận thấy $\omega_{2}$ có thể lớn hơn hoặc nhỏ hơn $\omega_{1}$ tùy trường hợp.
$ \omega_{1}<\omega_{2} \Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2}} \dfrac{1}{\mathrm{CZ}_{\tau}}<\sqrt{2} \dfrac{\mathrm{Z}_{\tau}}{\mathrm{L}} \Leftrightarrow 2 \mathrm{Z}_{\tau}^{2}>\dfrac{\mathrm{L}}{\mathrm{C}} \Leftrightarrow 2\left(\dfrac{\mathrm{L}}{\mathrm{C}}-\dfrac{\mathrm{R}^{2}}{2}\right)>\dfrac{\mathrm{L}}{\mathrm{C}} \Rightarrow \dfrac{\mathrm{L}}{\mathrm{C}}>\mathrm{R}^{2}$
$ \omega_{1}>\omega_{2} \Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2}} \dfrac{1}{\mathrm{CZ}_{\tau}}<\sqrt{2} \dfrac{\mathrm{Z}_{\tau}}{\mathrm{L}} \Leftrightarrow 2 \mathrm{Z}_{\tau}^{2}<\dfrac{\mathrm{L}}{\mathrm{C}} \Leftrightarrow 2\left(\dfrac{\mathrm{L}}{\mathrm{C}}-\dfrac{\mathrm{R}^{2}}{2}\right)<\dfrac{\mathrm{L}}{\mathrm{C}} \Rightarrow \sqrt{\dfrac{\mathrm{L}}{\mathrm{C}}<\mathrm{R}^{2}}$
Kết quả 3: Chuẩn hóa các trường hợp:
Đặt $\dfrac{Z_{L 1}}{Z_{C 1}}=\dfrac{Z_{C 2}}{Z_{L 2}}=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2}} \dfrac{L}{C Z_{\tau}}}{\sqrt{2} Z_{\tau}}=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{1}{C Z_{\tau}}}{\sqrt{2} \dfrac{Z_{\tau}}{L}}=\dfrac{\omega_{1}}{\omega_{2}}=\dfrac{1}{2-\dfrac{R^{2} C}{L}}=m$
$*$ Khi $U_{L}=U,$ chuẩn hóa $Z_{C}=1; Z_{L}=m; R=\sqrt{2 m-1}$
$*$ Khi $U_{Cc}=U,$ chuẩn hóa $Z_{L}=1; Z_{C}=m; R=\sqrt{2 m-1}$
Quay trở lại bài toán.
Cách 1:
Khi cho f = f0 + 75 Hz thì điện áp giữa hai đầu cuộn cảm thuần cũng bằng U thì chuẩn hóa $Z_{C}=1; Z_{L}=m; R=\sqrt{2 m-1}$
Hệ số công suất lúc đó là
$\cos \varphi =\dfrac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{2m-1}}{\sqrt{2m-1+{{\left(m-1 \right)}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{2m-1}}{m}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow m=3\pm \sqrt{6}$
Với $m=\dfrac{{{\omega }_{1}}}{{{\omega }_{2}}}=\dfrac{{{f}_{1}}}{{{f}_{2}}}=\dfrac{{{f}_{0}}+75}{{{f}_{0}}}>1\Rightarrow 3+\sqrt{6}=\dfrac{{{f}_{0}}+75}{{{f}_{0}}}\Rightarrow {{f}_{0}}\approx 16,86$ (Hz)
Cách 2:
Khi tần số của mạch bằng $f_0$ thì $Z_{C_{o}}=\sqrt{R^{2}+\left(Z_{L_{o}}-Z_{C_{o}}\right)^{2}} \Rightarrow Z_{L_{o}}^{2}=2 Z_{L_{o}} Z_{C_{o}}-R^{2}=\dfrac{2 L}{C}-R^{2}\left(1\right)$
Khi tần số của mạch bằng $\mathrm{f}=\mathrm{f}_{0}+75$ th
$U_{L}=U \Rightarrow Z_{L}=\sqrt{R^{2}+\left(Z_{L}-Z_{C}\right)^{2}} \Rightarrow Z_{C}=2 Z_{L} Z_{C}-R^{2}=\dfrac{2 L}{C}-R^{2}\left(2\right)$ Từ (1)
$\Rightarrow Z_{L_{o}}=Z_{C} \Rightarrow \omega_{o} L=\dfrac{1}{C \omega} \Rightarrow \omega \omega_{o}=\dfrac{1}{L C}\left(3\right)$
Ta lại có: Từ $\left(1\right) \Rightarrow Z_{L_{o}}^{2}=\dfrac{2 L}{C}-R^{2} \Rightarrow \omega_{o}^{2} L^{2}=\dfrac{2 L}{C}-R^{2} \Rightarrow \omega_{o}^{2}=2 L C-\dfrac{R^{2}}{L^{2}}\left(5\right)$
Thế (3) và
(4) vào (5) $\omega_{o}^{2}=2 \omega \omega_{o}-\dfrac{\omega^{2}}{3} \Rightarrow 3 \omega_{o}^{2}-6 \omega \omega_{o}+\omega^{2}=0$
Hay $3 f_{o}^{2}-6 f f_{o}+f^{2}=0 \Rightarrow 3 f_{o}^{2}-6\left(f_{o}+f_{1}\right) f_{o}+\left(f_{o}+f_{1}\right)^{2} \Rightarrow 2 f_{o}^{2}+4 f_{1} f_{o}=0\left(6\right)$ vói
$f_{1}=75 H z$ phương trình (6) có nghiệm $f_{o}=\dfrac{-2 f_{1} \pm f_{1} \sqrt{6}}{2}$
Loại nghiệm âm ta có $\mathrm{f}_{\mathrm{o}}=16,86 \mathrm{~Hz}$
Đáp án C.