Google
Câu hỏi: Đặt điện áp $u=U\sqrt{2}\cos \omega t(V)$ (U và ω không đổi) vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp như hình vẽ bên (trong đó tụ điện có điện dung C thay đổi được). Khi $C={{C}_{1}}$ thì cường độ dòng điện trong mạch trễ pha hơn điện áp u một góc ${{\varphi }_{1}}>0$ và điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn dây là U1. Khi $C={{C}_{2}}$ thì cường độ dòng điện trong mạch sớm pha hơn điện áp u một góc ${{\varphi }_{2}}={{90}^{0}}-{{\varphi }_{1}}$ và điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn dây là ${{U}_{2}}=3{{U}_{1}}.$ Khi $C={{C}_{1}},$ hệ số công suất của đoạn mạch là
A. 0,32
B. 0,67
C. 0,45
D. 0,95
A. 0,32
B. 0,67
C. 0,45
D. 0,95
Phương pháp:
+ Sử dụng công thức: $\cos (a+b)=\cos a.\cos b-\sin a.\sin b$
+ Sử dụng biểu thức tính hệ số công suất: $\cos \varphi =\dfrac{R}{Z}$
Cách giải:
Ta có: ${{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}}={{\varphi }_{1}}+\dfrac{\pi }{2}-{{\varphi }_{1}}=\dfrac{\pi }{2}$
$\Rightarrow \cos \left({{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}} \right)=\cos {{\varphi }_{1}}.\cos {{\varphi }_{2}}-\sin {{\varphi }_{1}}\sin {{\varphi }_{2}}=\cos \dfrac{\pi }{2}=0$
$\Leftrightarrow \dfrac{R+r}{{{Z}_{1}}}\cdot \dfrac{R+r}{{{Z}_{2}}}-\dfrac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{{{C}_{1}}}}}{{{Z}_{1}}}\cdot \dfrac{{{Z}_{{{C}_{2}}}}-{{Z}_{L}}}{{{Z}_{2}}}=0$ $\Rightarrow {{(R+r)}^{2}}=\left({{Z}_{L}}-{{Z}_{{{C}_{1}}}} \right)\left({{Z}_{{{C}_{2}}}}-{{Z}_{L}} \right)$ (1)
Lại có: ${{U}_{2}}=3{{U}_{1}}\Leftrightarrow \dfrac{U}{{{Z}_{2}}}\cdot {{Z}_{rL}}=3\dfrac{U}{{{Z}_{1}}}\cdot {{Z}_{rL}}\Rightarrow {{Z}_{1}}=3{{Z}_{2}}\Leftrightarrow Z_{1}^{2}=9Z_{2}^{2}$
$\Leftrightarrow 9{{(R+r)}^{2}}+9{{\left({{Z}_{{{C}_{2}}}}-{{Z}_{L}} \right)}^{2}}={{(R+r)}^{2}}+{{\left({{Z}_{L}}-{{Z}_{{{C}_{1}}}} \right)}^{2}}\text{ (2)}$
Kết hợp (1) và (2) ta được:
${{\left({{Z}_{L}}-{{Z}_{{{C}_{1}}}} \right)}^{2}}-8\left({{Z}_{L}}-{{Z}_{{{C}_{1}}}} \right)\left({{Z}_{{{C}_{2}}}}-{{Z}_{L}} \right)-9{{\left({{Z}_{{{C}_{2}}}}-{{Z}_{L}} \right)}^{2}}=0$
$\Rightarrow \dfrac{{{\left({{Z}_{L}}-{{Z}_{{{C}_{1}}}} \right)}^{2}}}{{{\left({{Z}_{{{C}_{2}}}}-{{Z}_{L}} \right)}^{2}}}-8\dfrac{\left({{Z}_{L}}-{{Z}_{{{C}_{1}}}} \right)}{\left({{Z}_{{{C}_{2}}}}-{{Z}_{L}} \right)}-9=0$ $\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
{{Z}_{L}}-{{Z}_{{{C}_{1}}}}=9\left({{Z}_{{{C}_{2}}}}-{{Z}_{L}} \right) \\
{{Z}_{L}}-{{Z}_{{{C}_{1}}}}=-\left({{Z}_{{{C}_{2}}}}-{{Z}_{L}} \right)\text{ (loa }\!\!\ddot{\mathrm{i}}\!\!\text{ i)} \\
\end{array} \right.$
Với $\left({{Z}_{L}}-{{Z}_{{{C}_{1}}}} \right)=9\left({{Z}_{{{C}_{2}}}}-{{Z}_{L}} \right)\Rightarrow {{(R+r)}^{2}}=\dfrac{1}{9}{{\left({{Z}_{L}}-{{Z}_{{{C}_{1}}}} \right)}^{2}}$
$\Rightarrow \cos {{\varphi }_{1}}=\dfrac{R+r}{{{Z}_{1}}}=\dfrac{R+r}{\sqrt{{{(R+r)}^{2}}+{{\left({{Z}_{L}}-{{Z}_{{{C}_{1}}}} \right)}^{2}}}}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}$
+ Sử dụng công thức: $\cos (a+b)=\cos a.\cos b-\sin a.\sin b$
+ Sử dụng biểu thức tính hệ số công suất: $\cos \varphi =\dfrac{R}{Z}$
Cách giải:
Ta có: ${{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}}={{\varphi }_{1}}+\dfrac{\pi }{2}-{{\varphi }_{1}}=\dfrac{\pi }{2}$
$\Rightarrow \cos \left({{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}} \right)=\cos {{\varphi }_{1}}.\cos {{\varphi }_{2}}-\sin {{\varphi }_{1}}\sin {{\varphi }_{2}}=\cos \dfrac{\pi }{2}=0$
$\Leftrightarrow \dfrac{R+r}{{{Z}_{1}}}\cdot \dfrac{R+r}{{{Z}_{2}}}-\dfrac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{{{C}_{1}}}}}{{{Z}_{1}}}\cdot \dfrac{{{Z}_{{{C}_{2}}}}-{{Z}_{L}}}{{{Z}_{2}}}=0$ $\Rightarrow {{(R+r)}^{2}}=\left({{Z}_{L}}-{{Z}_{{{C}_{1}}}} \right)\left({{Z}_{{{C}_{2}}}}-{{Z}_{L}} \right)$ (1)
Lại có: ${{U}_{2}}=3{{U}_{1}}\Leftrightarrow \dfrac{U}{{{Z}_{2}}}\cdot {{Z}_{rL}}=3\dfrac{U}{{{Z}_{1}}}\cdot {{Z}_{rL}}\Rightarrow {{Z}_{1}}=3{{Z}_{2}}\Leftrightarrow Z_{1}^{2}=9Z_{2}^{2}$
$\Leftrightarrow 9{{(R+r)}^{2}}+9{{\left({{Z}_{{{C}_{2}}}}-{{Z}_{L}} \right)}^{2}}={{(R+r)}^{2}}+{{\left({{Z}_{L}}-{{Z}_{{{C}_{1}}}} \right)}^{2}}\text{ (2)}$
Kết hợp (1) và (2) ta được:
${{\left({{Z}_{L}}-{{Z}_{{{C}_{1}}}} \right)}^{2}}-8\left({{Z}_{L}}-{{Z}_{{{C}_{1}}}} \right)\left({{Z}_{{{C}_{2}}}}-{{Z}_{L}} \right)-9{{\left({{Z}_{{{C}_{2}}}}-{{Z}_{L}} \right)}^{2}}=0$
$\Rightarrow \dfrac{{{\left({{Z}_{L}}-{{Z}_{{{C}_{1}}}} \right)}^{2}}}{{{\left({{Z}_{{{C}_{2}}}}-{{Z}_{L}} \right)}^{2}}}-8\dfrac{\left({{Z}_{L}}-{{Z}_{{{C}_{1}}}} \right)}{\left({{Z}_{{{C}_{2}}}}-{{Z}_{L}} \right)}-9=0$ $\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
{{Z}_{L}}-{{Z}_{{{C}_{1}}}}=9\left({{Z}_{{{C}_{2}}}}-{{Z}_{L}} \right) \\
{{Z}_{L}}-{{Z}_{{{C}_{1}}}}=-\left({{Z}_{{{C}_{2}}}}-{{Z}_{L}} \right)\text{ (loa }\!\!\ddot{\mathrm{i}}\!\!\text{ i)} \\
\end{array} \right.$
Với $\left({{Z}_{L}}-{{Z}_{{{C}_{1}}}} \right)=9\left({{Z}_{{{C}_{2}}}}-{{Z}_{L}} \right)\Rightarrow {{(R+r)}^{2}}=\dfrac{1}{9}{{\left({{Z}_{L}}-{{Z}_{{{C}_{1}}}} \right)}^{2}}$
$\Rightarrow \cos {{\varphi }_{1}}=\dfrac{R+r}{{{Z}_{1}}}=\dfrac{R+r}{\sqrt{{{(R+r)}^{2}}+{{\left({{Z}_{L}}-{{Z}_{{{C}_{1}}}} \right)}^{2}}}}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}$
Đáp án A.