Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương $m$ để hàm số $y=\dfrac{\cos x+1}{10\cos x+m}$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$ ?

* Đặt $t=\cos x\left( 0<t<1 \right)\Rightarrow y=\dfrac{t+1}{10t+m}\Rightarrow y'=\dfrac{m-10}{\left( 10t+{{m}^{2}} \right)}t;$
* Hàm số $y=\dfrac{\cos x+1}{10\cos x+m}$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$
$\Leftrightarrow y'=\dfrac{m-10}{{{\left( 10t+m \right)}^{2}}}t'>0,\forall x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right).$ Vì trên khoảng $\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$ hàm số $t=\cos x$ nghịch biến nên $t'<0,\forall x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$
* Từ đó suy ra:
$\left\{ \begin{aligned}
& m-10<0 \\
& -\dfrac{m}{10}\notin \left( 0;1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<10 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m\le -10 \\
& m\ge 0 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\le -10 \\
& 0\le m<10 \\
\end{aligned} \right..$
$m$ nguyên dương nên $m\in \left\{ 1,2,...,9 \right\}.$