Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương $m$ để hàm số $y = \frac{\cos x + 1}{10 \cos x + m}$ đồng biến trên khoảng $(0; \frac{π}{2})$ ?

The Collectors · 29/5/21

Câu hỏi: Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương

m

để hàm số

y = \frac{\cos x + 1}{10 \cos x + m}

đồng biến trên khoảng

(0; \frac{π}{2})

?
A. 9.
B. 8.
C. 10.
D. 11.

* Đặt

t = \cos x (0 < t < 1) \Rightarrow y = \frac{t + 1}{10 t + m} \Rightarrow y^{'} = \frac{m - 10}{(10 t + m^{2})} t;

* Hàm số

y = \frac{\cos x + 1}{10 \cos x + m}

đồng biến trên khoảng

(0; \frac{π}{2})

\Leftrightarrow y^{'} = \frac{m - 10}{{(10 t + m)}^{2}} t^{'} > 0, \forall x \in (0; \frac{π}{2}) .

Vì trên khoảng

(0; \frac{π}{2})

hàm số

t = \cos x

nghịch biến nên

t^{'} < 0, \forall x \in (0; \frac{π}{2})

* Từ đó suy ra:

{\begin{aligned} m - 10 < 0 \\ - \frac{m}{10} \notin (0; 1) \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} m < 10 \\ [\begin{aligned} m \leq - 10 \\ m \geq 0 \end{aligned} \end{aligned} \Leftrightarrow [\begin{aligned} m \leq - 10 \\ 0 \leq m < 10 \end{aligned} .

m

nguyên dương nên

m \in {1, 2, . . ., 9} .

Đáp án A.

Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số y=cos⁡x+110cos⁡x+m đồng biến trên khoảng (0;π2) ?