Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\dfrac{x}{x+1}$ mà tiếp tuyến đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân?

Ta có $y=f'\left( x \right)=\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}.$
Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\in \left( C \right)\left( {{x}_{0}}\ne -1 \right)$ có dạng $y=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}.$
Do tiếp tuyến cắt $Ox,Oy$ lần lượt tại hai điểm $A,B$ và tam giác OAB cân nên tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y=x$ hoặc $y=-x$
Suy ra $\left[ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{{{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}}=1 \\
& \dfrac{1}{{{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}}=-1\left( vn \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{0}}=0 \\
& {{x}_{0}}=-2 \\
\end{aligned} \right..$
Với $x=1$ phương trình tiếp tuyến là $y=x$ loại vì A trùng O
Với $x=-2$ phương trình tiếp tuyến là $y=x+2$
Vậy có 1 tiếp tuyến thỏa mãn ycbt.