Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y={\displaystyle \frac{x}{x+1}}$ mà tiếp tuyến đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân?

Ta có $y=f^{\prime }\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{{(x+1)}^2}}.$
Phương trình tiếp tuyến của $\left(C\right)$ tại điểm $M(x_0;y_0)\in \left(C\right)(x_0\ne -1)$ có dạng $y=f^{\prime }\left(x_0\right)(x-x_0)+y_0.$
Do tiếp tuyến cắt $Ox,Oy$ lần lượt tại hai điểm $A,B$ và tam giác OAB cân nên tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y=x$ hoặc $y=-x$
Suy ra $[\begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{1}{{(x_0+1)}^2}}=1\\ & {\displaystyle \frac{1}{{(x_0+1)}^2}}=-1\left(vn\right)\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& x_0=0\\ & x_0=-2\end{array}.$
Với $x=1$ phương trình tiếp tuyến là $y=x$ loại vì A trùng O
Với $x=-2$ phương trình tiếp tuyến là $y=x+2$
Vậy có 1 tiếp tuyến thỏa mãn ycbt.