Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn $\left[ -10;10 \right]$ của $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $y=\dfrac{2x+m}{x+1}$ trên đoạn $\left[...

Ta có: $y'=\dfrac{2-m}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}.$
TH1: $m=2.$ Khi đó $y=2$ nên $m=1$ không thỏa mãn bài toán.
TH2: $m>2.$
Khi đó hàm số nghịch biến trên $\left[ -4;-2 \right].$
Suy ra: $\underset{\left[ -4;-2 \right]}{\mathop{\max }} y=y\left( -4 \right)=\dfrac{-8+m}{-3}=\dfrac{8-m}{3}.$
Do đó: $\underset{\left[ -4;-2 \right]}{\mathop{\max }} y\le 1\Leftrightarrow \dfrac{8-m}{3}\le 1\Leftrightarrow m\ge 5.$
Kết hợp với $m>2$ ta có $m\ge 5.$
TH3: $m>2.$
Khi đó hàm số đồng biến trên $\left[ -4;-2 \right].$
Suy ra: $\underset{\left[ -4;-2 \right]}{\mathop{\max }} y=y\left( -2 \right)=\dfrac{-4+m}{-1}=4-m.$
Do đó: $\underset{\left[ -4;-2 \right]}{\mathop{\max }} y\le 1\Leftrightarrow 4-m\le 1\Leftrightarrow m\ge 3.$
TH này không xảy ra.
Vậy $m\ge 5$ nên $m\in \left\{ 5;6;7;8;9;10 \right\}.$