Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $y=\left| 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m \right|$ có 5 điểm cực trị.
A. 26.
B. 16.
C. 27.
D. 44.
A. 26.
B. 16.
C. 27.
D. 44.
Tập xác định: $D=\mathbb{R}.$
Ta có đạo hàm của $\left( \left| f\left( x \right) \right| \right)'=\left( \sqrt{{{f}^{2}}\left( x \right)} \right)'=\dfrac{2f\left( x \right).f'\left( x \right)}{2\sqrt{{{f}^{2}}\left( x \right)}}=\dfrac{f\left( x \right).f'\left( x \right)}{\left| f\left( x \right) \right|},$ suy ra
Đạo hàm $y'=\dfrac{\left( 12{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}-24x \right)\left( 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m \right)}{\left| 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m \right|}$, từ đây ta có
Xét phương trình
$\left( 12{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}-24x \right)\left( 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 12{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}-24x=0 \\
& 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=-1 \\
& x=2 \\
& 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}=-m\left( * \right) \\
\end{aligned} \right.$
Xét hàm số $g\left( x \right)=3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}$ trên $\mathbb{R}$ và $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=-1 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.. $ Bảng biến thiên của $ g\left( x \right)$ như sau:
Hàm số đã cho có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi tổng số nghiệm bội lẻ của $y'=0$ và số điểm tới hạn của $y'$ là 5, do đó ta cần có các trường hợp sau
TH1: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác -1; 0; 2$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -m>0 \\
& -32<-m<-5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m<0 \\
& 5<m<32 \\
\end{aligned} \right.,$ trường hợp này có 26 số nguyên dương.
TH2: Phương trình (*) có 3 nghiệm trong đó có một nghiệm kép trùng với một trong các nghiệm $-1;0;2\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -m=0 \\
& -m=-5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& m=5 \\
\end{aligned} \right.,$ trường hợp này có một số nguyên dương.
Vậy có tất cả là 27 số nguyên dương thỏa mãn bài toán.
Ta có đạo hàm của $\left( \left| f\left( x \right) \right| \right)'=\left( \sqrt{{{f}^{2}}\left( x \right)} \right)'=\dfrac{2f\left( x \right).f'\left( x \right)}{2\sqrt{{{f}^{2}}\left( x \right)}}=\dfrac{f\left( x \right).f'\left( x \right)}{\left| f\left( x \right) \right|},$ suy ra
Đạo hàm $y'=\dfrac{\left( 12{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}-24x \right)\left( 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m \right)}{\left| 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m \right|}$, từ đây ta có
Xét phương trình
$\left( 12{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}-24x \right)\left( 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 12{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}-24x=0 \\
& 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=-1 \\
& x=2 \\
& 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}=-m\left( * \right) \\
\end{aligned} \right.$
Xét hàm số $g\left( x \right)=3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}$ trên $\mathbb{R}$ và $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=-1 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.. $ Bảng biến thiên của $ g\left( x \right)$ như sau:
Hàm số đã cho có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi tổng số nghiệm bội lẻ của $y'=0$ và số điểm tới hạn của $y'$ là 5, do đó ta cần có các trường hợp sau
TH1: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác -1; 0; 2$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -m>0 \\
& -32<-m<-5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m<0 \\
& 5<m<32 \\
\end{aligned} \right.,$ trường hợp này có 26 số nguyên dương.
TH2: Phương trình (*) có 3 nghiệm trong đó có một nghiệm kép trùng với một trong các nghiệm $-1;0;2\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -m=0 \\
& -m=-5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& m=5 \\
\end{aligned} \right.,$ trường hợp này có một số nguyên dương.
Vậy có tất cả là 27 số nguyên dương thỏa mãn bài toán.
Đáp án C.