Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số $m$ để hàm số $y={{x}^{3}}+mx-\dfrac{1}{5{{x}^{2}}}$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)?$

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}+m+\dfrac{2}{5{{x}^{3}}}.$
Hàm số $y={{x}^{3}}+mx-\dfrac{1}{5{{x}^{2}}}$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right).$
$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+m+\dfrac{2}{5{{x}^{3}}}\ge 0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow m\ge -3{{x}^{2}}-\dfrac{2}{5{{x}^{3}}},\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow m\ge \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }} g\left( x \right)$ với $g\left( x \right)=-3{{x}^{2}}-\dfrac{2}{5{{x}^{3}}}.$
Xét $g\left( x \right)=-3{{x}^{2}}-\dfrac{2}{5{{x}^{3}}}$ trên $\left( 0;+\infty \right),$ ta có $g'\left( x \right)=-6x+\dfrac{6}{5{{x}^{4}}};g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{\sqrt[5]{5}}.$
Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra $m\ge -2,6.$
Vậy $m=-2$ và $m=1$ thỏa mãn.