Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số $m$ để hàm số $y = x^{3} + m x - \frac{1}{5 x^{2}}$ đồng biến trên khoảng $(0; + \infty) ?$

The Collectors · 29/5/21

Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số

m

để hàm số

y = x^{3} + m x - \frac{1}{5 x^{2}}

đồng biến trên khoảng

(0; + \infty) ?

A. 0.
B. 4.
C. 2.
D. 3

Ta có:

y^{'} = 3 x^{2} + m + \frac{2}{5 x^{3}} .

Hàm số

y = x^{3} + m x - \frac{1}{5 x^{2}}

đồng biến trên

(0; + \infty)

\Leftrightarrow y^{'} \geq 0, \forall x \in (0; + \infty) .

\Leftrightarrow 3 x^{2} + m + \frac{2}{5 x^{3}} \geq 0, \forall x \in (0; + \infty)

\Leftrightarrow m \geq - 3 x^{2} - \frac{2}{5 x^{3}}, \forall x \in (0; + \infty)

\Leftrightarrow m \geq max_{(0; + \infty)} g (x)

với

g (x) = - 3 x^{2} - \frac{2}{5 x^{3}} .

Xét

g (x) = - 3 x^{2} - \frac{2}{5 x^{3}}

trên

(0; + \infty),

ta có

g^{'} (x) = - 6 x + \frac{6}{5 x^{4}}; g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{\sqrt[5]{5}} .

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra

m \geq - 2, 6.

Vậy

m = - 2

và

m = 1

thỏa mãn.

Đáp án C.

Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số y=x3+mx−15x2 đồng biến trên khoảng (0;+∞)?