Google
Câu hỏi: Cho $x,y$ là các số thực thỏa mãn ${{\log }_{9}}x={{\log }_{12}}y={{\log }_{16}}\left( x+2y \right)$. Giá trị tỉ số $\dfrac{x}{y}$ là
A. $\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}$.
B. $\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}$.
C. $\sqrt{2}+1$.
D. $\sqrt{2}-1$.
A. $\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}$.
B. $\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}$.
C. $\sqrt{2}+1$.
D. $\sqrt{2}-1$.
Đặt ${{\log }_{9}}x={{\log }_{12}}y={{\log }_{16}}\left( x+2y \right)=t\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x={{9}^{t}} \\
& y={{12}^{t}} \\
& x+2y={{16}^{t}} \\
\end{aligned} \right.. $ Khi đó $ \dfrac{x}{y}=\dfrac{{{9}^{t}}}{{{12}^{t}}}={{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{t}}.$
Mặt khác ta có phương trình:
${{9}^{t}}+{{2.12}^{t}}={{16}^{t}}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{16}{9} \right)}^{t}}-2.{{\left( \dfrac{4}{3} \right)}^{t}}-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{\left( \dfrac{4}{3} \right)}^{t}}=1+\sqrt{2}\left( nhan \right) \\
& {{\left( \dfrac{4}{3} \right)}^{t}}=1-\sqrt{2}\left( loai \right) \\
\end{aligned} \right.$
Do đó $\dfrac{x}{y}={{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{t}}=\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1.$
& x={{9}^{t}} \\
& y={{12}^{t}} \\
& x+2y={{16}^{t}} \\
\end{aligned} \right.. $ Khi đó $ \dfrac{x}{y}=\dfrac{{{9}^{t}}}{{{12}^{t}}}={{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{t}}.$
Mặt khác ta có phương trình:
${{9}^{t}}+{{2.12}^{t}}={{16}^{t}}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{16}{9} \right)}^{t}}-2.{{\left( \dfrac{4}{3} \right)}^{t}}-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{\left( \dfrac{4}{3} \right)}^{t}}=1+\sqrt{2}\left( nhan \right) \\
& {{\left( \dfrac{4}{3} \right)}^{t}}=1-\sqrt{2}\left( loai \right) \\
\end{aligned} \right.$
Do đó $\dfrac{x}{y}={{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{t}}=\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1.$
Đáp án D.